Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Bruchterme addieren und subtrahieren Stelle durch einen möglichst einfachen Bruch dar: a) 2 s __ 4d + 7 – 6 s ____ 4d (d ≠ 0) b) 8u + 5 ____ a 2 – 3u + 2 ____ a 2 (a ≠ 0) Lösung: a) 2 s __ 4d + 7 – 6 s ____ 4d = 2 s + 7 – 6 s _______ 4d = ‒4 s + 7 _____ 4d b) 8u + 5 ____ a 2 – 3u + 2 ____ a 2 = 8u + 5 – (3u + 2) __________ a 2 = 8u + 5 – 3u – 2 _________ a 2 =  5u + 3 ____ a 2 Stelle in der Form  A __ B dar: a) 2 x __ 5p + 7x __ 3q (p, q ≠ 0) b) 10m ___ n – 4n ____ n + m (m ≠ ‒n, n ≠ 0) Lösung: a) Aufgrund der ungleichen Nenner muss sinnvoll erweitert werden: 2 x __ 5p + 7x __ 3q = 2 x·3q ____ 5p·3q + 7x·5p ____ 3q·5p = 6q x ____ 15pq + 35p x ____ 15pq = 6q x + 35p x _______ 15pq = x·(35p + 6q) ________ 15pq b) Aufgrund der ungleichen Nenner muss sinnvoll erweitert werden: 10m ___ n – 4n ____ n + m = 10m·(n + m) ________ n·(n + m) – 4n·n ______ (n + m)·n = 10m·(n + m) – 4n 2 ___________ n·(n + m) = 10m 2 + 10mn – 4n 2 ____________ n·(n + m) Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Für Terme A, B, C, D gilt: (1)  A __ C +  B __ C =  A + B ____ C (C ≠ 0) A __ C – B __ C =  A – B ____ C (C ≠ 0) (2) A __ B +  C __ D =  A·D + B·C ______ B·D (B, D ≠ 0) A __ B – C __ D =  A·D – B·C ______ B·D (B, D ≠ 0) In der Regel (2) nimmt man in der Praxis anstelle des Nenners B·D besser das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von B und D und erweitert entsprechend: Stelle  2 r __ 6 y + 4 r ___ 3 y 2 (y ≠ 0) durch einen Bruch dar und kürze so weit wie möglich! Lösung: 2 r __ 6 y + 4 r ___ 3 y 2 = 2 r·y ___ 6 y·y + 4 r·2 ____ 3 y 2 ·2 = 2 r y ___ 6 y 2 + 8 r ___ 6 y 2 =  2 r y + 8 r _____ 6 y 2 =  2 r·(y + 4) ______ 6 y 2 =  r·(y + 4) _____ 3 y 2 Stelle  x ____ x 2 – 16 + x + 1 ____ x 2 – 4 x (x ≠ ‒4, 0, 4) möglichst einfach in der Form  A __ B dar! Lösung: Wir betrachten die beiden Nenner: x 2 – 16 = (x + 4) ·(x – 4) x 2 – 4 x = x·(x – 4) Das kgV von (x + 4) ·(x – 4) und x·(x – 4) ist x· (x + 4) ·(x – 4). x ____ x 2 – 16 + x + 1 ____ x 2 – 4 x = x ________ (x + 4) (x – 4) + x + 1 _____ x (x – 4) = x·x _________ (x + 4) (x – 4)·x + (x + 1)·(x + 4) _________ x (x – 4)·(x + 4) = x·x + (x + 1) (x + 4) ___________ x (x + 4) (x – 4) = = 2 x 2 + 5 x + 4 ________ x (x + 4) (x – 4) Aufgaben Grundlagen Stelle durch einen möglichst einfachen Bruch dar! Welche Bedingungen muss die Variable (müssen die Variablen) erfüllen? a) 7b __ a + 10b ___ a c) 2a + 3 ____ a + 6a – 7 ____ a e) 3 __ x 2 + 4 __ x 2 – 6 __ x 2 g) 2 x 2 + 1 ____ x 2 – 4 x 2 – 1 ____ x 2 b) 4 _ b – 10a ___ b d) 4 x + 3 y _____ 2 z – 6 x – 3 y _____ 2 z f) 3 – a ___ 3a 2 + 3 – 2a ____ 3a 2 + a – 5 ___ 3a 2 h) 17g + 4h ______ 4e f – 18g – 5h ______ 4e f 2.79 D O 2.80 D O 2.81 D O 1 3 2.82 D O 2.83 D O 53 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv