Mathematik verstehen 4, Schulbuch

2.4 Mit Bruchtermen arbeiten Erweitern und kürzen Ein Quader hat das Volumen  5a __ 3b und ein Würfel hat das Volumen  5b __ 3a . Dabei ist a < b mit a, b * R + . Gib an, welcher Körper das größere Volumen hat! Lösung: Ein Vergleich der beiden Terme ist in der vorliegenden Form nur schwer möglich. Haben aber beide Bruchterme denselben Nenner, kann der Vergleich durchgeführt werden: Dazu erweitern wir den ersten Bruchterm mit a:  5a __ 3b = 5a·a ____ 3b·a = 5a 2 ___ 3ab Den zweiten Bruchterm erweitern wir mit b:  5b __ 3a = 5b·b ____ 3a·b = 5b 2 ___ 3ab Da a < b und a, b * R + , ist a 2 < b 2 und daher  5a 2 ___ 3ab <  5b 2 ___ 3ab , da 5a 2 < 5b 2 . Der Würfel hat ein größeres Volumen als der Quader. Sind die beiden Terme  3 x __ y und  3 x y ___ y 2 (mit y ≠ 0) äquivalent? Begründe die Antwort! Lösung: Ja, denn das Erweitern mit y ändert nichts am Wert des Terms. Werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit demselben Term multipliziert , so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man Erweitern von Bruchtermen. A __ B =  A·C ___ B·C (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) Stelle den Term a) 2p 2 ___ 4p 5 (mit p ≠ 0), b) u 2 – v 2 ____ u – v (mit u ≠ v) möglichst einfach dar! Lösung: a) 2p 2 ___ 4p 5 = 2p 2 2p 2 _____ 4p 5 2p 2 = 1 ___ 2p 3 oder einfacher: 2p 2 ___ 4p 5 = 1 ___ 2p 3 b) u 2 – v 2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) ________ u – v = (u + v)·(u – v)  (u – v) ____________ (u – v)  (u – v) = u + v ___ 1 = u + v oder einfacher: u 2 – v 2 ____ u – v = (u + v)·(u – v) _________ u – v = u + v Werden Zähler und Nenner eines Bruchterms durch denselben Term dividiert , so ändert sich nur die Darstellung des Bruchterms. Dies nennt man Kürzen von Bruchtermen. A __ B =  A  C ___ B  C (für Terme A, B, C mit B, C ≠ 0) Aufgaben Grundlagen Stelle den Term möglichst einfach dar! Welche Bedingungen müssen gelten? a) 3 x __ x b) 4 x __ x 2 c) 3 x 2 y 3 ____ 6 y d) 7x 3 y ___ 7x 3 y e) 24a 4 b 5 c 4 ______ 72a 2 b c f) e x·7e ____ 14e 2 Hebe heraus und kürze so weit wie möglich! Welche Bedingungen müssen gelten? a) 5 x – 15 _____ 5 b) 4 x 2 – 4 x _____ x c) 5 x 2 + 5 x _____ 25 x 2 d) 4e f – 8e f 2 _______ 2e f e) 9a 2 + 9a + 9 _______ 18a f) a 2 b ____ a 2 + a 2.66 D O 2.67 A D 2.68 D O 1 2 1 3 1 1 2.69 D O 2.70 D O 51 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv