Mathematik verstehen 4, Schulbuch

2.3 Eigenschaften von Bruchtermen Es sei p 3 das Volumen und p 2 der Grundflächeninhalt eines Würfels. Berechne die Kanten- länge des Würfels! Lösung: p 3 p 2 = ​ p 3 __ p 2 ​= p 3 – 2 = p 1 = p Die Kantenlänge des Würfels ist p. Wird ein Term durch eine Variable oder einen weiteren Term mit Variablen dividiert, so ist dar- auf zu achten, dass der Divisor bzw. der Nenner eine Zahl ungleich 0 ist. Andernfalls würde es sich nicht um einen sinnvollen mathematischen Ausdruck handeln. In Aufgabe 2.53 wäre etwa eine Kante der Länge 0 nicht sinnvoll. Terme, bei denen Variablen im Nenner stehen, nennt man Bruchterme . Beispiele: ​ p 3 __ p 2 ​; ‒ ​ 5 _ a ​; ​ c ___ c + 4 ​; ​ 4 x __ ​x​ 5 ​ ​; ‒ ​ 1 ____ h 3 + h 2 ​; ​ 4 r 2 + 7r – 3 _______ r – 2 s​ ​ Dass bei Bruchtermen im Nenner unbestimmte Zahlen stehen, bringt das Risiko mit sich, dass eine Division durch null erfolgen könnte. Daher ist es wichtig, stets jene Werte aus- zuschließen, bei denen der Nenner 0 wäre. Überdies ist der Ausdruck ​ 0 _ 0 ​gar nicht definiert. Gegeben ist der Term ​ c ___ c + 4 .​ 1) Gib den Wert an, den die Variable c nicht annehmen darf! 2) Zeige, was passieren würde, hätte c den gesuchten Wert! Lösung: 1) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: c + 4 ≠ 0, dh. c ≠ ‒4. 2) Wäre c = ‒4, so entstände der Quotient ​ ‒ 4 ____ ‒4 + 4 ​= ​ ‒4 __ 0 ​. Dies stellt jedoch einen mathematisch nicht sinnvollen Ausdruck dar. Gegeben ist der Term ​ 4 r 2 + 7r – 3 _______ r – 2 s ​. Was muss für die beiden Variablen r und s gelten? Lösung: Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: r – 2 s ≠ 0, dh. r ≠ 2 s. Gegeben ist der Term a) ​ 1 _____ x·(x – 2) ​, b) ​ 1 ________ (x + 3)·(x – 5) ​. Gib die Werte an, die x nicht annehmen darf! Lösung: a) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: x·(x – 2) ≠ 0. Ist ein Faktor 0, ist das Produkt gleich 0, dh.: x ≠ 0 oder x – 2 ≠ 0, also x ≠ 0 oder x ≠ 2. b) Da der Nenner nicht 0 sein darf, muss gelten: (x + 3)·(x – 5) ≠ 0. Ist ein Faktor 0, ist das Produkt gleich 0, dh.: x + 3 ≠ 0 oder x – 5 ≠ 0, also x ≠ ‒3 oder x ≠ 5. In Aufgabe 2.56 ist ein grundlegender mathematischer Satz angewendet worden. In beiden Teilaufgaben ist der Nenner ein Produkt, das nicht gleich 0 sein darf. Ist in 2.56 a) x = 0, so ist auch das Produkt gleich 0. Dies ist aber auch der Fall, wenn x = 2; denn dann ist der zweite Faktor (x – 2) gleich 0 und damit auch das gesamte Produkt. Ähnliches gilt für 2.56 b). 2.53 O 2.54 O I A 2.55 O I D 2.56 O I 49 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv