Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Beliebig genaues Nähern mit Schranken Begründe, dass die Zahl 9 ___ 200sicher irrational ist! Gib jeweils eine natürliche Zahl als untere und als obere Schranke für 9 ___ 200an! Lösung: Die Zahl 9 ___ 200ist sicher irrational, da 200 keine Quadratzahl ist. Da 14 2 = 196 und 15 2 = 225 und somit 196 < 200 < 225, muss gelten: 14 < 9 ___ 200< 15. Die Zahl 14 ist eine untere Schranke und die Zahl 15 eine obere Schranke von 9 ___ 200. Gilt a ª x ª b (mit a, b, x * R ), dann nennt man a eine untere Schranke und b eine obere Schranke von x. Bemerkung: Jede kleinere Zahl als a ist ebenfalls eine untere Schranke von x und jede größere Zahl als b ist ebenfalls eine obere Schranke von x. Die Zahl 9 ___ 200lässt sich mit nur wenigen Rechenschritten beliebig genau annähern. Die Anfangsüberlegung lautet: Man sucht zwei Zahlen p 1 und q 1 , deren Produkt 200 ergibt. Setzt man zB p 1 = 10 und q 1 = 20, erhält man 10·20 = 200. Eine erste Ungleichungskette ist gefunden: 10 ª 9 ___ 200ª 20 . Die Zahl 9 ___ 200befindet sich demnach in einer Teil- menge von R , die links von 10 und rechts von 20 begrenzt ist, dem Intervall [10; 20]. Man schreibt: 9 ___ 200 * [10; 20]. Nun bildet man das arithmetische Mittel _ x 1 aus den Faktoren p 1 und q 1 : _ x 1 =  10 + 20 _____ 2 = 15 Die nächste Überlegung lautet: Man sucht jene Zahl, mit der 15 multipliziert werden muss, damit das Ergebnis 200 ist. Dazu rechnet man 20015 = 13, • 3. Damit sind die beiden Faktoren p 2 = 13, • 3und q 2 = 15 ermittelt. Eine zweite Ungleichungskette ist gefunden: 13, • 3ª 9 ___ 200ª 15 . Es gilt: 9 ___ 200 * [ 13, • 3 ; 15]. Nun verfährt man wie vorhin: Man bildet das arithmetische Mittel _ x 2 aus den Faktoren p 2 und q 2 : _ x 2 =  13, • 3 + 15 _____ 2 = 14,1 • 6 Dann sucht man den zweiten Faktor mit der Division 200 14,1 • 6 ≈ 14,118 und erhält die beiden Faktoren p 3 ≈ 14,118 und q 3 = 14,1 • 6. Eine dritte Ungleichungskette ist gefunden: 14,118 ª 9 ___ 200ª 14,1 • 6 Es gilt: 9 ___ 200 * [14,118; 14,1 • 6 ]. Im nächsten Schritt erhält man p 4 ≈ 14,14211438 und q 4 ≈ 14,14215686 und somit die vierte Ungleichungskette: 14,14211438 ª 9 ___ 200ª 14,14215686 . In nur vier Annäherungsschritten sind die untere und die obere Schranke bereits bis zur vierten Nachkommaziffer identisch. Ein guter Näherungswert ist gefunden. Weitere An- näherungsschritte können diesen noch genauer bestimmen. Diese Art der Näherung nennt man das HERON’sche Näherungsverfahren , benannt nach dem griechischen Mathematiker HERON von Alexandria (um 75 n. Chr.). 1.88 D A Ó 10 20 10 13,3 15 20 10 14,118 14,16 15 20 13,3 Ó Demo – t3tt3i 30 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv