Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Lösungen 7.127 1) V = r 2 π h ___ 3 Das Volumen ist ein Drittel des Produkts aus Grundflächeninhalt (Kreisfläche) r 2 π und Höhe h. 2) O = r 2 π + r π s Der Oberflächeninhalt ist die Summe aus dem Grundflächeninhalt r 2 π und dem Mantelflächeninhalt (Kreissektor mit dem Radius s und der Kreisbogenlänge 2 r π ). 7.128 Eine Kugel ist ein geometrischer Körper mit einer gewölbten Oberfläche, bei dem jeder Punkt der Oberfläche vom Mittelpunkt M der Kugel gleich weit entfernt ist. Der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem Punkt der Ober- fläche ist der Radius r der Kugel. Die Ober- fläche einer Hohlkugel bezeichnet man auch als Kugelsphäre oder Kugelperipherie. Die Schnittfläche durch den Mittelpunkt der Kugel ist ein Kreis. 7.129 1) V = 4 r 3 π ___ 3 Das Volumen einer Halbkugel lässt sich mit Hilfe der Differenz des Volumens eines Dreh- zylinders und eines Drehkegels ermitteln. 2) O = 4 r 2 π Der Oberflächeninhalt lässt sich mit Hilfe der Formel für das Kugelvolumen und der Idee lauter kleiner pyramidenähnlicher Körper mit der Höhe r herleiten, deren Spitzen im Ku- gelmittelpunkt liegen und deren Summe der Grundflächeninhalte den Oberflächeninhalt der Kugel ergibt. 7.130 a) V Drehzylinder ≈ 211,72 cm 3 , V Drehkegel ≈ 70,57cm 3 b) O Drehzylinder ≈ 199,05 cm 2 , O Drehkegel ≈ 112,24 cm 2 7.131 Es passen ca. 91,95dm 3 Luft in den Ballon. 7.132 V = a 2 b π ____ 2 7.133 1) A = r h __ 2 2) V h = r 2 π h ___ 3 3) V r = h 2 π r ___ 3 4) Es liegt jeweils ein unterschiedlicher Grundflächeninhalt (r 2 π bzw. h 2 π ) sowie eine unterschiedliche Höhe (h bzw. r) vor. 7.134 7.135 Radius eines Drehkegels C Höhe eines Drehzylinders D Radius einer Kugel E Höhe eines Drehkegels A Radius eines Drehzylinders B 7.136 7.137 Es wird Farbe für 2,99m 2 Fläche benötigt. 7.138 V = 0,225d 3 π 7.139 Man berechnet damit das Volumen einer Hohlkugel, deren äußerer Radius r 1 und deren innerer Radius r 2 ist. 7.140 1) Das Kugelvolumen macht ca. 52,4% des Würfelvolumens aus. 2) Seien r der Radius der Kugel, a die Kanten- länge des Würfels und V = 1, dann sind r =  3 9 ___ 3 __ 4 π und a = 1 w O Kugel = 4 π · 3 9 ____ 9 ___ 16 π 2 ≈ 4,84 und O Würfel = 6 w O Würfel > O Kugel 3) Seien r der Radius der Kugel, a die Kanten- länge des Würfels und O = 1, dann sind r =  9 ___ 1 __ 4 π und a =  9 __ 1 _ 6 w V Kugel = 4 π __ 3 9 ____ 1 ___ 64 π 3 ≈ 0,09 und V Würfel =  9 ___ 1 ___ 216 ≈ 0,068 w V Kugel > V Würfel 4) r = a· 3 9 ___ 3 __ 4 π 8 Zentralmaße und Streuungsmaße 8.101 1) Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels _ xwird die Summe der Daten einer Liste durch die Anzahl der Daten dividiert. 2) Bei der Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels _ xwerden die k verschiedenen vorkommenden Werte a 1 , a 2 , …, a k mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten H  1 , H 2 , …, H k multipliziert: Die Summe dieser Produkte wird durch die Summe der Häufigkeiten dividiert. 8.102 Der Modus ist der am häufigsten vorkom- mende Wert einer Liste. 8.103 Bei einer ungeraden Anzahl von Daten ist der Median q  2 der in der Mitte liegende Wert der geordneten Liste. Bei einer geraden An- zahl von Daten wird der Median q  2 als arith- metisches Mittel der beiden in der Mitte der geordneten Liste liegenden Werte berechnet. 8.104 Bei der Berechnung des geometrischen Mit- tels _ x g zweier Zahlen wird die Wurzel aus dem Produkt der beiden Zahlen gezogen. Das geometrische Mittel wird bei der Be- rechnung von mittleren prozentuellen Zu- oder Abnahmen sowie bei geometrischen Aufgaben verwendet. 8.105 Bei der Berechnung des harmonischen Mit- tels _ x h zweier Zahlen wird das Produkt beider Zahlen verdoppelt und durch die Summe der Zahlen dividiert. Das harmonische Mittel wird zB für die Ermittlung der Durchschnitts- geschwindigkeit zweier unterschiedlicher Geschwindigkeiten auf einer gleich langen Strecke eingesetzt. 8.106 Durch die Quartile wird eine geordnete Liste von Daten in vier gleich große Abschnitte gegliedert, wobei q  1 , q 2 und q 3 selbst keinem Abschnitt zugerechnet werden. 8.107 Im Kastenschaubild werden fünf statistische Kennzahlen – Minimum, q  1 , q 2 , q 3 , Maxi- mum – folgendermaßen dargestellt: Mit Hilfe eines passenden Ausschnitts der Zahlengeraden werden die fünf genannten Kennzahlen als vertikale Strecken darge- stellt; die Strecken für q  1 und q 3 werden zu einem Rechteck verbunden; zwei weitere horizontale Strecken verbinden das Mini- mum mit q 1 bzw. q 3 mit dem Maximum. Ca. 50% der Daten liegen im Rechteck zwischen q  1 und q 3 und jeweils ca. 25% der Daten liegen zwischen dem Minimum und q  1 bzw. q 3 und dem Maximum. 8.108 Die Spannweite ist die Differenz aus Maxi- mum und Minimum. 8.109 1) Die empirische Varianz s  2 einer Liste von Daten ist das arithmetische Mittel der Ab- weichungsquadrate der Daten vom arithme- tischen Mittel _ x. 2) Die empirische Standardabweichung s ist die Wurzel aus der empirischen Varianz. 8.110 1) _ x= 5,4 2) q  2 = 5,5 3) Modus = 4 8.111 1) _ x= 19,5 2) _ x g ≈ 18,7 3) _ x h ≈ 17,9 8.112 Das höchste Haus ist 25,55m hoch. 8.113 Liste A: _ x= 14. Es wird keine Formel für die Berechnung von _ xbenötigt, da acht Daten gleich sind, nämlich 14; ein Datum ist um zwei kleiner und ein weiteres Datum um zwei größer als 14: Das arithmetische Mittel dieser Zahlen ist ebenfalls 14. Liste B: _ x= 16. Es wird keine Formel für die Berechnung von _ xbenötigt, da das arithme- tische Mittel der ersten und der sechsten (letzten) Zahl, der zweiten und der fünften Zahl sowie der dritten und der vierten Zahl stets 16 ergibt. 8.114 a) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 b) 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 8.115 1) In 20 Geschäften wurde der Preis unter- sucht. 2) Der Modus liegt bei 90€. 3) _ x= 84,75€ 4) geordnete Liste der Preise: 75, 75, 75, 80, 80, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 95, 95; q  2 = 85€ 8.116 Das arithmetische Mittel der Körpergrößen der fünf Kinder ist _ x= 152 cm. Fünf Monate später ist das neue arithmetische Mittel _ x neu um 2 größer als das berechnete arithme tische Mittel, da alle fünf Kinder jeweils um zwei Zentimeter gewachsen sind: _ x neu =  143 + 2 + 146 + 2 + 150 + 2 + 158 + 2 + 163 + 2 _________________________ 5 = =  143 + 146 + 150 + 158 + 163 + 5·2 ___________________ 5 =  _ x + 5·2 ___ 5 =  _ x + 2 8.117 Von einer Datenliste beträgt das arithmeti- sche Mittel _ x= 62. Es werden drei Daten, nämlich 62, 62, 62 hinzugefügt. Das neue arithmetische Mittel ist _ x neu =  _ x= 62. Das neue arithmetische Mittel muss nicht mit der Formel berechnet werden, da drei Daten dazukommen, die gleich dem arith metischen Mittel sind: _ x neu =  _ x·n ___ n + 62·3 ___ 3 =  62·n + 62·3 ________ n + 3 =  62 “ n + 3 § ______ n + 3 = 62 =  _ x 8.118 8.119 Gloria hat die Beurteilungen von insgesamt 19 Schülerinnen und Schülern notiert. Wären die restlichen fünf Beurteilungen „Genü- gend“, wäre der Notendurchschnitt _ x ≈ 2,67; bei eventuellen „Nicht genügend“ wäre der Notendurchschnitt noch schlechter; in kei- nem Fall kann daher der Notendurchschnitt der Klasse _ x= 2,4 sein. 8.120 q 1 = 6, q 2 = 8, q 3 = 14 8.121 Hinweis: Beachte vor allem die Art des unter- suchten Merkmals und die Anzahl von Daten, die mithilfe der genannten Kennzahlen analysiert und interpretiert werden sollen! 283 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv