Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Lösungen 5.164 1) Durch die Höhe h wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinkelige Dreiecke mit den Kathetenlängen h und a _ 2 und der Hypotenusenlänge a zerlegt. Es gilt: h =  9 ______ a 2 ‒ “ a _ 2 § 2  =  9 ___ 3a 2 ___ 4 = a· 9 __ 3 ___ 2 2) Man ersetzt h in der Formel A = a·h ___ 2 durch a· 9 __ 3 ___ 2 . Durch Umformung erhält man A = a 2 · 9 __ 3 ____ 4 . 5.165 1) Rhombus: a 2 =  “ e _ 2 § 2 + “ f _ 2 § 2 A B a a a a h e M f C D 2) Trapez: d 2 = h 2 + x 2 und b 2 = h 2 + y 2 e 2 = (a – y) 2 + h 2 und f 2 = (a – x) 2 + h 2 A B a b d c x E h h F e f C D y 3) Deltoid: a 2 = x 2 +  “ f _ 2 § 2 bzw. b 2 = y 2 +  “ f _ 2 § 2 e C A B a b a D b y x f 2 f 2 5.166 1) d =  9 ________ a 2 + b 2 + h 2 2) d = a· 9 __ 3 5.167 h s d 2 h h a a 2 h a 2 = h 2 +  “ a _ 2 § 2 s 2 = h 2 +  “ d _ 2 § 2 s 2 = h a 2 +  “ a _ 2 § 2 5.168 1) Ein Tetraeder ist eine regelmäßige drei- seitige Pyramide mit lauter gleich langen Kanten. Dh. die Begrenzungsflächen eines Tetraeders sind vier gleichseitige Dreiecke. O = a 2 · 9 __ 3 und V = a 3 __ 12 · 9 __ 2 2) Ein Oktaeder ist eine regelmäßige qua- dratische Doppelpyramide mit lauter gleich langen Kanten. Dh. die Begrenzungsflächen eines Oktaeders sind acht gleichseitige Dreiecke. O = 2·a 2 · 9 __ 3 und V = 1 _ 3 ·a 3 · 9 __ 2 5.169 7 2 + 15 2 ≠ 16 2 , weil 49 + 225 = 274, aber 16 2 = 256. 5.170 Pythagoräischer Lehrsatz: c 2 = a 2 + b 2 ; c =  9 ________ 36 + 20,25=  9 ____ 56,25= 7,5 (cm) Kathetensatz: a 2 = c·p; p = 36 __ 7,5 = 4,8 (cm) c = p + q; q = 7,5 – 4,8 = 2,7(cm) (bzw. noch - maliges Anwenden des Kathetensatzes) 5.171 1) e 2 + r 2 = w 2 (zusätzlich: e 2 = m 2 + t 2 und r 2 = m 2 + x 2 ) 2) r 2 = x·w und e 2 = t·w 3) m 2 = t·x 5.172 Ist A 1 der Flächeninhalt des großen, A 2 der Flächeninhalt des kleinen Quadrats und A 3 der Flächeninhalt der gesuchten blauen Dreiecksfläche, dann gilt: A 3 = (A 1 – A 2 )4 A 1 = a 2 = 160 2 = 25600 (cm 2 ) A 2 =  d 2 __ 2 =  180 2 ___ 2 = 16200 (cm 2 ) A 3 = (25600 – 16200)4 = 2350 (cm 2 ) 5.173 5.174 5.175 Ja, denn der Flächeninhalt des Deltoids ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen e und f, dh. A =  e·f __ 2 =  7·4 ___ 2 = 14 (cm 2 ). Kontrolle: A = (e – z)· f _ 2 + z· f _ 2 = e·f __ 2 –  z·f __ 2 + z·f __ 2 = e·f __ 2 =  7·4 ___ 2 = 14 (cm 2 ) 5.176 Kathetensatz: a 2 = c·p w p = a 2 __ c (1) bzw. b 2 = c·q w q = b 2 __ c (2) Für die Hypotenusenlänge c gilt: c = p + q (3) Ersetzt man in (3) p und q durch (1) und (2), so erhält man: c =  a 2 __ c +  b 2 __ c 1 ·c c 2 = a 2 + b 2 w pythagoräischer Lehrsatz 6 Die Kreiszahl π 6.85 Man misst den Durchmesser eines kreis- förmigen Gegenstands und rollt ihn danach in einer Umdrehung ab. Die Abrollstrecke ist etwas länger als das Dreifache des Durch- messers. 6.86 Man schreibt einem Kreis mit dem Durch- messer 1 n-Ecke um bzw. ein. Je größer n ist, desto genauer wird sich der Umfang des n-Ecks der Zahl π annähern. 6.87 1) u = d π 2) u = 2 r π 6.88 Das Maß des zugehörigen Zentriwinkels α ist notwendig, denn die Länge b des Kreis- bogens hängt davon ab, wie weit α geöffnet wird. 6.89 Man schreibt einem Kreis mit dem Radius 1 n-Ecke um bzw. ein. Je größer n ist, desto ge- nauer wird sich der Flächeninhalt des n-Ecks der Zahl π annähern. 6.90 1) A =  “ d _ 2 § 2 π 2) A = r 2 π 6.91 Teilt man eine Kreisfläche in viele Kreis- sektoren ein und reiht man diese neben- einander so an, dass abwechselnd einmal die Spitze oben, einmal unten ist, ergibt sich annähernd ein Parallelogramm mit der Höhe r und der Grundseitenlänge r π . Da r·r π = r 2 π , ist dies eine Möglichkeit, sich einer Formel für den Flächeninhalt eines Kreises anzunähern. 6.92 Sei r 1 der Radius des äußeren und r 2 der Radius des inneren Kreises: A = r 1 2 π – r 2 2 π = π ·(r 1 2 – r 2 2 ) 6.93 Sei r der Radius des Kreises, α das Zentri- winkelmaß und b die Länge des zugehörigen Kreisbogens: A = α ___ 360 ·r 2 · π = b·r ___ 2 6.94 Sei r der Radius des Kreises, α das Zentri- winkelmaß und s die Länge der zugehörigen Kreissehne: A = α ___ 360 ·r 2 · π –  s· 9 ____ r 2 – s 2 __ 4 _____ 2 · 6.95 Der Kreisumfang ist das π -Fache des Kreis- durchmessers, denn das Verhältnis von Kreis- umfang zu Kreisdurchmesser ist stets kon- stant, nämlich π 1, daher u _ d = π . 6.96 Er wird verdreifacht. 6.97 a) b ≈ 7,85 cm b) α = 45° 6.98 Solveig hat den größeren Kreis gezeichnet. Der Flächeninhalt ihres Kreises beträgt ca. 227cm 2 , während Gibrils Kreis einen Durchmesser von ca. 15,8 cm hat. 6.99 A ≈ 314m 2 6.100 u ≈ 78,54 cm 6.101 Flächeninhalt des Kreissegments in cm 2 D Umfang des Kreises in cm E Flächeninhalt des Kreissektors in cm 2 C Flächeninhalt des Kreises in cm 2 A Länge eines Kreisbogens in cm B 6.102 1) A ≈ 1 944 cm 2 2) Es werden ca. 30% der Heckscheibe gesäubert. 6.103 6.104 Der Radius r 2 muss ca. 70,71% der Länge des Radius r 1 haben. Lösungsweg: A innen = r 2 2 π ; A Kreisring = r 1 2 π – r 2 2 π ; r 2 2 π = r 1 2 π – r 2 2 π w 2 r 2 2 π = r 1 2 π w 2 r 2 2 = r 1 2 w r 2 2 = r 1 2 __ 2 w r 2 = r 1 __ 9 __ 2 =  r 1 9 __ 2 ___ 2 ≈ 0,7071·r  1 7 Rotationskörper 7.123 Bei einem Rotationskörper wird die Ober- fläche des Körpers durch Rotation (Drehung) einer erzeugenden Linie um eine Rotations- achse gebildet. Dabei liegen Linie und Achse zunächst in einer Ebene. Beispiele hierfür sind Drehzylinder, Drehkegel und Kugel. 7.124 Ein Drehzylinder ist ein geometrischer Kör- per mit zwei kongruenten und zueinander parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche, bei dem die Schnittfläche durch die beiden Kreismittelpunkte ein Rechteck ist. Die Er- zeugende der gekrümmten Mantelfläche steht genauso wie die Höhe des Drehzylin- ders normal zu Grund- und Deckfläche. 7.125 1) V = r 2 π h Das Volumen ist das Produkt aus Grund- flächeninhalt (Kreisfläche) r 2 π und Höhe h. 2) O = 2 r 2 π + 2 r π h Der Oberflächeninhalt ist die Summe aus dem doppelten Grundflächeninhalt 2 r 2 π und dem Mantelflächeninhalt (Rechteck mit den Seitenlängen 2 r π und h). 7.126 Ein Drehkegel ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche, einer Spitze und einer gekrümmten Mantelfläche, bei dem die Schnittfläche durch die Spitze und den Kreismittelpunkt ein gleichschenkeliges Dreieck ist. Die Erzeugende der gekrümmten Mantelfläche ist die Hypotenuse eines recht- winkeligen Dreiecks mit den Katheten Ra- dius der Grundfläche und Höhe des Dreh- kegels. 282 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv