Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Lösungen 3.67 Man kann sie als Gerade darstellen. 3.68 a·x + b·y = c 1. Spezialfall: Gilt a = 0, so kann x beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 1. Achse durch den Punkt “ 0 ! c _ b § . 2. Spezialfall: Ist b = 0, so kann y beliebige Werte annehmen. Die grafische Darstellung der Lösungsmenge ist in diesem Fall eine Gerade parallel zur 2. Achse durch den Punkt “ c _ a ! 0 § . 3.69 Es hat die Form: a 1 ·x + a 2 ·y = a 0 ( a 1 ; a 2 ; a 0 * R , a 1 und a 2 nicht zugleich 0) b 1 ·x + b 2 ·y = b 0 ( b 1 ; b 2 ; b 0 * R , b 1 und b 2 nicht zugleich 0) 3.70 1. Fall: Die Lösungs- menge beider Gleichun- gen ist je eine Gerade. Der Schnittpunkt der beiden entspricht der Lösung des Gleichungs- systems. 1 -1 -3 -2 2 3 1 -3 -2 -1 O 2.A. 1.A. 2 3 g S h 2. Fall: Die Lösungsmen- gen beider Gleichungen sind verschiedene paral- lele Geraden. Da diese einander nicht schnei- den, hat das Gleichungs- system keine Lösung. 1 -1 -3 -2 2 3 1 -3 -2 -1 O 2.A. 1.A. 2 3 g h 3. Fall: Die Lösungsmen- ge beider Gleichungen sind zusammenfallende Geraden. Das Glei- chungssystem hat in diesem Fall unendlich viele Lösungen, nämlich alle Punkte der Geraden. 1 -1 -3 -2 2 3 1 -3 -2 -1 O 2.A. 1.A. 2 3 g=h 3.71 Eine Variable wird aus einer Gleichung durch die andere Variable ausgedrückt. Der erhal- tene Term wird anschließend in die andere Gleichung eingesetzt. 3.72 Die Gleichungen werden bei Bedarf einzeln derart mit geeigneten Zahlen multipliziert, dass bei Addition der beiden Gleichungen ei- ne Variable wegfällt. 3.73 Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Variable durch die andere ausgedrückt. Dann werden die erhaltenen Terme gleich- gesetzt. 3.74 3.75 Ja, es ist möglich, da es Zahlenpaare als Lösungen der Gleichung 6 x + 10 y = 200 gibt, deren Koordinaten natürliche Zahlen sind. Das sind (0 1 20) oder (10 1 14). So kann Alina also zB zehn 6-Cent- und 14 10-Cent-Marken aufkleben. 3.76 Ja, es gibt die Zahlenpaare (1 1 9), (4 1 7), (7 1 5), (10 1 3), (13 1 1) als Lösung. 3.77 1 -1 -2 2 3 1 -2 -1 O y x 2 3 5 6 4 3.78 Lösung: (7 1 ‒ 1) 3.79 Es gibt zehn Einzel- und 30 Stockbetten. 3.80 Nein, das ist nicht möglich, da eine Gerade und damit die Lösungsmenge aus unendlich vielen Punkten besteht. 3.81 3.82 a = ‒13,5 3.83 ZB: 12 x + 5 y = 1 3.84 a = 3, b = ‒8 3.85 x + y = 4 Lösung: (3 1 1) x + 3 y = 6 4 Funktionen 4.87 Ist A eine Menge (reeller) Zahlen und wird jeder Zahl aus A genau eine reelle Zahl zu- geordnet, so nennt man diese Zuordnung eine (reelle) Funktion. 4.88 Ist f eine (reelle) Funktion, dann heißt die Menge aller Zahlenpaare von Ausgangs- größe und zugeordneter Größe Graph der Funktion f bzw. Funktionsgraph. 4.89 Man kann Funktionen in einer Termdarstel- lung, als Funktionsgraph oder durch eine Tabelle darstellen, in der jeder Ausgangsgrö- ße in der ersten Spalte oder Zeile genau eine reelle Zahl in der zweiten Spalte bzw. Zeile zugeordnet wird. 4.90 Die Ausgangsgröße, zB x, einer reellen Funk- tion f wird als Argument oder Stelle be- zeichnet, die zugeordnete Größe f (x) als Funktionswert an der Stelle x. 4.91 Ist die zugeordnete Größe durch einen Term gegeben, spricht man von einer Termdarstel- lung der Funktion. f ist der Name der Funk- tion, f (x) der Funktionswert an der Stelle x, der bei reellen Funktionen eine reelle Zahl ist. 4.92 1) f (x) = k·x + d 2) f (x) = k·x (mit k ≠ 0) In beiden Fällen ist der Graph der Funktion eine Gerade, wobei nur bei 2) f (0) stets 0 ist. 4.93 Bei einer allgemeinen linearen Funktion der Form f (x) = k·x + d ist k die Steigung der Funktion (Geraden) und d der Funktionswert an der Stelle 0, also f (0) = d. 4.94 Hat im Steigungs- dreieck die zur 1. Achse parallele Kathete die Länge 1, so ist die Länge der zweiten Kathete k bzw. † k † . 2.A. 1.A. 1 -1 2 3 4 O 1 -2 -1 2 1 1 k |k| 4.95 Lineares Wachsen bedeutet: Gleiche Zu- nahme der Argumente bewirkt stets gleiche Zunahme der Funktionswerte. Bei linearem Abnehmen bewirkt eine gleiche Zunahme der Argumente stets eine gleiche Abnahme der Funktionswerte. 4.96 Seien f 1 und f 2 lineare Funktionen mit jeweils unterschiedlicher Steigung, dann haben die beiden Funktionsgraphen einen Schnitt- punkt, der rechnerisch durch Gleichsetzung f 1 (x) = f 2 (x) ermittelt werden kann. 4.97 Lässt sich die Termdarstellung einer reellen Funktion f in der Form f (x) = k _ x (mit k ≠ 0, x ≠ 0) angeben, so nennt man f eine indirekte Proportionalitätsfunktion. Das bedeutet, das Produkt x·f (x) ist stets k. 4.98 Lässt sich die Termdarstellung einer reellen Funktion f in der Form 1) f (x) = a x 2 + b x + c (mit a, b, c * R und a ≠ 0), 2) f (x) = c·a x (mit c * R , a * R + ) angeben, so nennt man f eine 1) quadratische Funktion, 2) Exponen- tialfunktion. 4.99 Das Beschreiben eines Sachverhalts mit mathematischen Mitteln nennt man mathe- matisches Modellieren, als Ergebnis liegt daraufhin ein mathematisches Modell vor. 4.100 Nur in den angekreuz- ten Fällen wird jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet. 4.101 5 f(x) x 1 -1 2 3 4 O 1 -3 -2 -1 2 3 f 4.102 CDBA 4.103 1) t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h (t) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 2) 8 10 h(t) t 50 100 150 200 O 2 4 6 h 3) h (t) = 10 t + 100 4) Nein, h (0) ist nicht 0. 4.104 In diesen Fällen ist V (0) = 0, dh. das Gefäß ist zu Beginn leer. Das Wasservolumen nimmt bis zu 10 Liter gleichmäßig zu und bleibt dann gleich. 4.105 4.106 Beide haben Recht. Die derzeitige Geschwin- digkeit beträgt 6 km/h. Bleibt diese gleich, er- reichen sie das Ziel in einer weiteren Stunde. Mit halber Geschwindigkeit, also mit 3 km/h, erreichen sie das Ziel in zwei Stunden, be nötigen also insgesamt drei Stunden. 5 Die pythagoräische Satzgruppe 5.159 1) ZB: Addiert man in einem rechtwinkeligen Dreieck die Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten, so erhält man den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. 2) Gilt in einem Dreieck der pythagoräische Lehrsatz, so ist das Dreieck rechtwinkelig. 5.160 Der pythagoräische Lehrsatz kann in jedem rechtwinkeligen Dreieck bzw. in jeder geo- metrischen Figur und jedem geometrischen Körper angewendet werden, in denen recht- winkelige Dreiecke als Teilfiguren vorkom- men. 5.161 ZB: In einem rechtwinkeligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusen- abschnitt. 5.162 ZB: In einem rechtwinkeligen Dreieck hat das Quadrat über der Höhe stets den glei- chen Flächeninhalt wie das Rechteck aus bei- den Hypotenusenabschnitten. 5.163 1) d 2 = a 2 + b 2 w d =  9 _____ a 2 + b 2 2) d 2 = 2a 2 w d = a· 9 __ 2 281 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv