Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Lösungen 1 Reelle Zahlen 1.133 Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen anschreiben. 1.134 Eine irrationale Zahl hat eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung. Daher lässt sie sich nur mit beliebiger Genauigkeit angeben. 1.135 Die Menge der reellen Zahlen setzt sich aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen zusammen. 1.136 Rationale Zahlen kann man in Bruchdar- stellung angeben, irrationale nicht. 1.137 Die Quadratwurzel aus einer Zahl a º 0 ist jene nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. 1.138 Die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl kann eine natürliche, eine positive rationale oder eine positive irrationale Zahl sein. 1.139 Quadratzahlen sind Zahlen, die das Quadrat einer natürlichen Zahl n º 1 sind. 1.140 1) Die Kubikwurzel aus einer Zahl a º 0 ist jene nichtnegative Zahl, deren dritte Potenz gleich a ist. 2) Die n-te Wurzel aus einer Zahl a º 0 ist jene nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. 1.141 Wurzeln werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Wurzeln werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radi- kanden zieht. 1.142 Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden, aber nicht umge- kehrt. Diese Lücken werden durch die irratio- nalen Zahlen geschlossen. Somit entspricht jedem Punkt der Zahlengeraden eine reelle (rationale oder eben irrationale) Zahl. 1.143 Gilt a ª x ª b (mit a, b, x * R ), dann nennt man a eine untere Schranke und b eine obe- re Schranke von x. Jede kleinere Zahl als a ist ebenfalls eine untere Schranke von x und je- de größere Zahl als b ist ebenfalls eine obere Schranke von x. 1.144 Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a; Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c); Gesetz vom neutralen Element: a + 0 = a; Gesetz von den inversen Elementen: a + (‒a) = 0 1.145 Kommutativgesetz der Multiplikation: a·b = b·a; Assoziativgesetz der Multiplikation: (a·b)·c = a·(b·c); Gesetz vom neutralen Element: a·1 = a; Gesetz von den inversen Elementen: a· 1 _ a = 1 (a ≠ 0) 1.146 Distributivgesetz: a·(b + c) = a·b + a·c 1.147 Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen. Diese ist eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen und diese ist wiederum eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. 1.148 N Z Q R N Z Q R 8 _ 2 9 ___ 196 15,7 ‒10 √3 0,123123123 … ‒ 2, • 6 424,0 0 ‒ 1 _ 7 1.149 Es ist 49 eine Quadratzahl, 50 nicht. 1.150 a) ZB: 4 ª 9 __ 23ª 5 c) ZB: 19 ª  9 ___ 399ª 20 b) ZB: 10 ª  9 ___ 101ª 11 1.151 a) a = 9 cm b) a = 4dm c) a = 7mm 1.152 1.153 a) 8 b) 12 c) 9 d) 2 1.154 a) Die Gleichung ist falsch, denn 9 __ a + 9 __ b ≠ 9 ____ a + b(a, b º 0) und somit: 14 ≠ 10. b) Die Gleichung ist richtig, denn 9 __ a· 9 __ b=  9 ___ a·b(a, b º 0) und somit: 20 = 20. c) Die Gleichung ist richtig, denn 9 ___ a·b=  9 __ a· 9 __ b(a, b º 0) und somit: 9 __ 60=  9 ____ 4·15=  9 __ 4· 9 __ 15= 2· 9 __ 15 1.155 9 9 √162 Die Zahl 9 ___ 162ist die Maßzahl der Diago- nalenlänge eines Quadrats mit der Seiten- länge 9, denn 9 _____ 9 2 + 9 2 =  9 ___ 162. 1.156 Sie hat richtig gerechnet. Die Angabe von neun Nachkommaziffern ist jedoch für ein Endergebnis nicht sinnvoll, da meist nur auf Millimeter genau gezeichnet werden kann. Eine sinnvolle Angabe wäre hier etwa h ≈ 6,1 cm. (Sollte aber mit dem Ergebnis weitergerechnet werden müssen, so wäre es zweckmäßig, dieses im Taschenrechner zu speichern und für weitere Eingaben damit weiterzurechnen.) 1.157 Ja, dies gilt für Zahlen 0 < x < 1, denn das Quadrat einer solchen Zahl x ist stets kleiner als x. ZB: 9 __ 1 _ 4 =  1 _ 2 , da “ 1 _ 2 § 2 =  1 _ 4 oder 9 ___ 0,01= 0,1, da 0,1 2 = 0,01. 1.158 Nein, es handelt sich um eine rationale Zahl, da sie ja als Bruch 1 __ 17 dargestellt ist. Hätte er sich noch mehr Nachkomma- ziffern angesehen, wäre etwa bei 0,0588235294117647058823529411764705882… erkennbar gewesen, dass es sich um eine Zahl in periodischer Dezimaldarstellung handelt: 1 __ 17 = 0, ______________ 0588235294117647. 2 Variablen, Terme, Gleichungen 2.179 Die Grobstruktur gibt an, welche Rechenvor- schrift als Letztes durchgeführt werden muss, die Feinstruktur zeigt die Rechenope- rationen in den Teiltermen. 2.180 ZB: Herausheben eines gemeinsamen Fak- tors, Ausmultiplizieren, Erweitern, Kürzen, … 2.181 1) Die Summe der Koeffizienten wird mit der Basis inkl. Exponenten multipliziert. (Gilt nur für Potenzen mit gleicher Basis und gleichen Exponenten.) 2) Die Basis wird mit der Summe der Exponenten potenziert. (Gilt nur für Poten- zen mit gleicher Basis.) 2.182 (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 (A + B)·(A – B) = A 2 – B 2 2.183 Terme, bei denen Variablen in Nenner stehen, nennt man Bruchterme. Es muss darauf ge- achtet werden, Werte auszuschließen, bei denen der Nenner 0 wäre. 2.184 Ein Produkt ist genau dann null, wenn min- destens ein Faktor null ist. A·B = 0 É A = 0 oder B = 0 2.185 Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit demselben Term multipliziert. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchterms durch denselben Term dividiert. 2.186 Es muss stets darauf geachtet werden, dass die Vorrangregeln eingehalten werden. 2.187 Es gelten die Elementarumformungsregeln für Terme A, B und C: A + B = C É A = C – B A – B = C É A = C + B A·B = C É A = C __ B (B ≠ 0) A __ B = C É A = C·B (B ≠ 0) 2.188 Das Problem in der außermathemathe- matischen Wirklichkeit wird zunächst in ein innermathematisches verwandelt, dh. in Ungleichungen bzw. Gleichungen; dieses wird gelöst und dann wieder mit dem außer- mathematischen Problem in Beziehung gesetzt. 2.189 1) ZB: x + x 2) ZB: x – (‒x) 3) ZB: 4 x __ 2 2.190 Differenz 2.191 2.192 a) 2 _ g b) 9 r 2 – 1 ____ 9 r 2 c) 2 d) 1 ___ u – v 2.193 a) 2 _ 5 b) ‒ 1 ___ 2d f 2.194 a b c d 2.195 Der Grundflächeninhalt des Körpers ist (p – q), da die Höhe des Körpers (p + q) ist und Vh = G, also (p 2 – q 2 )(p + q) = p – q. 2.196 a) k ≠ ‒ 1 _ 3 ; k = ‒7 b) w ≠ ‒1, w ≠ 1; w = ‒2 c) z ≠ ‒2, z ≠ ‒1; keine Lösung 2.197 1) a + b > c 2) a·b ___ 2 > 100 3) a + b + c > 50 4) Nein, denn c < a + b. 2.198 1) 2 _ 3 x + x + (x + 5000) = 80000 Es sind x die Kosten der Firma B, auf die sich die Kosten der beiden anderen Firmen bezie- hen. 2) A: 18750 € B: 28125 € C: 33125 € 2.199 2.200 1) n + (n + 1) = 2n + 1 2) (n + 1) 2 – n 2 = 2n + 1 In beiden Fällen handelt es sich um den- selben Term. 3 Gleichungen und Gleichungs- systeme in zwei Variablen 3.65 Sie hat die Form a·x + b·y = c (mit a, b, c * R ; a und b nicht zugleich 0). 3.66 Jedes Zahlenpaar (x 1 y), das eine lineare Gleichung in den Variablen x und y erfüllt, nennt man Lösung der Gleichung. 280 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv