Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Dreiecke Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Seiten, drei Eckpunkten und drei Winkeln. Die Sum- me der Winkelmaße ist in jedem Dreieck 180°. Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite (Dreiecksungleichung). Man unterscheidet spitzwinkelige (Abb. 9.1), stumpf­ winkelige (Abb. 9.2), gleichschenkelige (Abb. 9.3), gleichseitige (Abb. 9.4), rechtwinkelige (Abb. 9.5) und rechtwinkelig-gleichschenkelige Dreiecke (Abb. 9.6). α α < 90°; β < 90°; γ < 90° A c B a C b β γ β > 90° α A c B a C b β γ α = β ; a = b α A c B a C b β γ Abb. 9.1 Abb. 9.2 Abb. 9.3 α = β = γ = 60°; a = b = c α A c B a C b β γ γ = 90° α A c B a C b β A c B a C b 45° 45° α = 45°; β = 45°; γ = 90° Abb. 9.4 Abb. 9.5 Abb. 9.6 Umfang u eines Dreiecks: u = a + b + c Flächeninhalt A eines Dreiecks: A = ​ a·​h​ a ​ ___ 2 ​= ​ b·​h​ b ​ ___ 2 ​= ​ c·​h​ c ​ ___ 2 ​ (mit den Höhen h a , h b , h c ) Spezialfälle: gleichseitiges Dreieck: u = 3a h = ​ a·​ 9 __ 3​ ___ 2 ​ A = ​ a 2 ·​ 9 __ 3​ ____ 4 ​ rechtwinkeliges Dreieck: A = ​ ab __ 2 ​ (mit den Kathetenlängen a, b) In jedem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c sowie den Hypotenusenlängenabschnitten p und q gelten die folgenden Sätze: Pythagoräischer Lehrsatz: a 2 + b 2 = c 2 Die Summe der beiden Kathetenlängenquadrate ist gleich dem Hypotenusenlängenquadrat. Kathetensatz: a 2 = c p und b 2 = c q Höhensatz: h 2 = pq Dreiecke, bei denen entspechende Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind, nennt man kongruent . Besondere Punkte beim Dreieck sind der Umkreismittelpunkt , der Inkreismittelpunkt , die Ankreismittelpunkte , der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt . a b q p c h 242 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv