Mathematik verstehen 4, Schulbuch

1.3 Mit Wurzeln rechnen Addieren und subtrahieren Gegeben sind zwei rechtwinkelige Dreiecke. Berechne die jeweils fehlende Seitenlänge! 15 8 p k 8 10 Lösung: Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt: p 2 = 8 2 + 15 2 w p =  9 ______ 8 2 + 15 2 =  9 ______ 64 + 225 =  9 ___ 289= 17 k 2 = 10 2 – 8 2 w k =  9 ______ 10 2 – 8 2 =  9 ______ 100 – 64=  9 __ 36= 6 Es gilt 9 _____ 3 2 + 4 2 =  9 _____ 9 + 16=  9 __ 25= 5. Gilt auch 9 __ 3 2 + 9 __ 4 2 = 5? Überprüft dies auch sowohl für 9 ______ 7 2 + 24 2 u nd 9 __ 7 2 + 9 ___ 24 2 als auch für 9 ______ 41 2 – 9 2 u nd 9 ___ 41 2 –  9 __ 9 2 ! Was schließt ihr daraus? Wird die n-te Wurzel aus dem Term auf der einen Seite der Gleichung gezogen, muss die n-te Wurzel auch aus dem gesamten Term auf der anderen Seite der Gleichung gezogen werden. Wird der Term auf der einen Seite der Gleichung mit n potenziert, muss auch der gesamte Term auf der anderen Seite der Gleichung mit n potenziert werden. Beachte: n 9 __ a +  n 9 __ b ≠ n 9 ____ a + b (a, b > 0, n º 2) n 9 __ a–  n 9 __ b ≠ n 9 ____ a – b (a, b > 0, a > b, n º 2) a n + b n ≠ (a + b) n (a, b > 0, n º 2) a n – b n ≠ (a – b) n (a, b > 0, a > b, n º 2) Aufgaben Grundlagen Kreuze nur zutreffende Aussagen an! 9 ______ 8 2 + 13 2 = 9 ___ 233 4 5 + 10 5 ≠ (4 + 10) 5 9 ______ 10 2 – 5 2 ≠ 9 ___ 10 2 –  9 __ 5 2 9 _____ x 2 – y 2 = x – y 3 9 __ 8 + 3 9 __ 27= 3 9 _____ 8 + 27 “ 9 _____ 12 + 18 § 2 = 12 + 18 Gordan meint: „Den pythagoräischen Lehrsatz a 2 + b 2 = c 2 kann man einfacher schreiben. Zieht man die Wurzeln, so wird daraus: 9 __ a 2 + 9 __ b 2 =  9 __ c 2 , also a + b = c.“ Hat Gordan Recht? Begründe die Antwort! Berechne! Was fällt auf? a) 1) 9 __ 2 + 9 __ 2 2) 9 ____ 2 + 2 b) 1) 3 9 __ 8+  3 9 __ 8 2) 3 9 ____ 8 + 8 Anna stellt fest: 9 ____ 0 + 1 =  9 __ 0 + 9 _ 1. Daraus schließt sie, dass 9 ____ a + b=  9 __ a+  9 __ bfür alle a, b º 0. Was entgegnest du ihr? 1.42 O B 1.43 1.44 I 1.45 A 1.46 O I 1.47 A 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv