Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Das harmonische Mittel Frau Fuchs fährt eine Strecke von 150 km mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h. Nach einer Pause fährt sie eine Strecke derselben Länge mit einer Durchschnitts- geschwindigkeit von 100 km/h. 1) Warum ist 80 km/h als Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke falsch? 2) Wie schnell ist sie tatsächlich durchschnittlich auf der gesamten Strecke gefahren? Lösung: 1) Sie fährt mit den beiden Geschwindigkeiten verschieden lang: Für die ersten 150 km sind das ​ 150 km _____ 60 km/h ​= 2,5h, für die zweiten 150 km sind es ​ 150 km ______ 100 km/h ​= 1,5h. Insgesamt hat sie für 300 km also vier Stunden gebraucht. 2) ​ 300 km _____ 4h ​= 75 km/h Frau Fuchs ist durchschnittlich mit 75 km/h auf der gesamten Strecke gefahren. Mithilfe der vorigen Aufgabe kann man nun eine Formel für Fälle dieser Art aufstellen, in denen ein Zentralmaß der beiden Geschwindigkeiten ermittelt wird: Da Geschwindigkeit = ​ zurückgelegter Weg ____________ benötigte Zeit ​, also v = ​ s _ t ​, kann für s = 2·150 und für t = ​ 150 ___ 60 ​+ ​ 150 ___ 100 ​ eingesetzt werden, dh. v = ​ 2·150 _____ ​ 150 ___ 60 ​+ 150 ___ 100 ​ ​= ​ 2·150 ________ 150·​ “ ​ 1 __ 60 ​+ ​ 1 ___ 100 ​ § ​ ​= ​ 2 _____ ​ 1 __ 60 ​+ ​ 1 ___ 100 ​ ​. Demnach ist die Länge der Gesamt- strecke beliebig, sofern nur die beiden Teilstrecken gleich lang sind. Sei nun a die Durch- schnittsgeschwindigkeit auf der ersten Teilstrecke und b die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der zweiten Teilstrecke, so ist v = ​ 2 ___ ​ 1 _ a ​+ 1 _ b ​ ​= ​ 2 ___ ​ a + b ___ ab ​ ​= ​ 2ab ___ a + b .​ Kontrolle: v = ​ 2·60·100 ______ 60 + 100 ​= ​ 12000 ____ 160 ​= 75 Es handelt sich hier um ein Zentralmaß für Größen, die durch einen relativen Bezug zu einer Einheit definiert sind, wie zB km/h, kg/Ar usw. Man nennt es harmonisches Mittel. Das harmonische Mittel ​ _ x​ h ​ zweier Zahlen a und b wird mit ​ _ x​ h ​= ​ 2ab ___ a + b ​ berechnet. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Michael fährt mit dem Rad mit durchschnittlich 12 km/h von zuhause zur Schule und am Nachmittag mit durchschnittlich 8 km/h von der Schule nachhause. Wie schnell ist er beide Strecken im Schnitt gefahren? Yousra läuft eine Strecke von 10 km mit einer Durchschnittsgeschwindig- keit von 9 km/h. Am folgenden Tag läuft sie dieselbe Strecke mit 11 km/h. Wie schnell ist sie an beiden Tagen im Schnitt gelaufen? Ein Landwirt hat zwei gleich große Anbauflächen für Spargel. Auf der einen Fläche erwirt- schaftet er einen Ertrag von 33 kg/Ar, auf der anderen einen Ertrag von 38 kg/Ar. Wie viel Fläche wird im Schnitt benötigt, um 1 kg Spargel zu ernten? Zeigt, dass für zwei Zahlen a und b Folgendes gilt: ​ _ x  _ x​ g ​= ​ _ x​ g  _ x​ h ​ Hinweis: Zeigt, dass ​ a + b ___ 2  9 ___ ab​= ​ 9 ___ ab  2ab ___ a + b ​und kontrolliert danach für a = 7 und b = 9! 8.56 O A 8.57 O 8.58 O 8.59 O 8.60 O A C 215 I 4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen N r zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv