Mathematik verstehen 4, Schulbuch

7.9 MERKwürdiges: Kugelzweieck und Kugeldreieck 199 I 3 Geometrische Figuren und Körper Die gewölbte Fläche Die Oberfläche einer Kugel ist keine ebene Fläche. Das verursacht schon Probleme beim Berechnen des Oberflächeninhalts. Aber gerade Berechnungen, welche die Kugeloberfläche als Grundlage haben, sind in vielen Anwendungen in der Geografie und in der Physik unverzichtbar. Auf der Kugeloberfläche gibt es unter anderem Punkte , Kreislinien und Abstände, die sphärische Ab- stände genannt werden. Kreise entstehen durch Schnitte der Kugel mit einer Ebene, Punkte entste- hen bei Berührung der Kugel durch eine Ebene. Ein sphärischer Abstand ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der Kugeloberfläche. Die Kugelgerade Verläuft eine Ebene durch den Mittelpunkt einer Kugel, entsteht ein sogenannter Hauptkreis (Groß- kreis), der Kugelgerade genannt wird. Ein Hauptkreis ist durch zwei Punkte der Kugeloberfläche ein- deutig bestimmt, er ist in sich verschiebbar und auf ihm findet sich die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der Kugeloberfläche. Die Kugelgerade hat eine endliche Länge von 2 r π . Zwei Punkte teilen die Kugelgerade in zwei Bögen, wobei nur der kürzere von beiden sphärischer Abstand heißt. Zwei Kugelgeraden schneiden einander stets in zwei Punkten, den Gegenpunkten . Es gibt keine zu- einander parallelen Kugelgeraden. Das Kugelzweieck Zwei Kugelgeraden teilen die Kugeloberfläche in vier Kugel- zweiecke , von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Die Ebenen der beiden Hauptkreise schließen einen Winkel α ein, der durch jenen Winkel gemessen wird, den die Tangenten an diese Kreise im Schnittpunkt miteinander einschließen. Aufgrund der Tatsache, dass der Oberflächen- inhalt einer Kugel mit O = 4 r 2 π gegeben ist, gilt für den Flächeninhalt eines Kugelzweiecks: A = ​ α ___ 360 ·​ 4 r 2 π . M Q’ α Q Das Kugeldreieck Drei Hauptkreise, die nicht durch die gleichen Gegenpunkte verlaufen, teilen die Kugel in acht Kugeldreiecke . Die ein solches Dreieck ABC be- grenzenden Hauptkreisbögen AB, BC, CA heißen die Seiten a, b, c des Dreiecks. Sie schließen die Winkel α , β und γ ein. Flächeninhalt eines Kugeldreiecks: A = ​ α + β + γ – 180 _________ 180 ·​ r 2 π A B C a b c α β γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv