Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Oberflächeninhalt der Kugel Die Oberfläche einer Kugel ist nicht eben, sondern gewölbt. Sie lässt sich nicht – wie etwa die Mantelflächen von Drehzylinder und Drehkegel – flach abrollen. Damit man dennoch den Oberflächeninhalt O einer Kugel berechnen kann, greifen wir zu einem Trick: Man kann sich die Kugeloberfläche in sehr viele sehr kleine Teilflächen aufgeteilt vorstellen. Würde man nun die vier Eckpunkte dieser Flä- chen mit dem Mittelpunkt M der Kugel verbinden, so entständen klei- ne pyramidenähnliche Körper mit der Höhe r und jeweils sehr kleinen Grundflächeninhalten G 1 , G 2 , G 3 , …, G n . Die Summe der Volumina aller dieser kleinen „Pyramiden“ sollte das Volumen V der Kugel ergeben: V ≈ ​ ​G​ 1 ·​ r ___ 3 ​+ ​ ​G​ 2 ​·r ___ 3 ​+ ​ ​G​ 3 ·​ r ___ 3 ​+ … + ​ ​G​ n ​·r ___ 3 ​= ​ r _ 3 ·​ (G 1 + G 2 + G 3 + … + G n ) Nun entspricht die Summe aller Grundflächeninhalte G 1 + G 2 + G 3 + … + G n der pyrami- denähnlichen Körper aber genau dem Oberflächeninhalt O der Kugel: V ≈ ​ r _ 3 ·​ (G 1 + G 2 + G 3 + … + G n ) = ​ r _ 3 ·​ O Das Volumen einer Kugel ist mit V = ​ 4 r 3 π ___ 3 ​gegeben. Daraus folgt: ​ 4 r 3 π ___ 3 ​≈ ​ r _ 3 ·​ O w O ≈ ​ 4 r 3 π ___ 3 ​ ​ r _ 3 ​= ​ 4 r 3 π ___ 3 ·​ ​ 3 _ r ​= 4 r 2 π Mithilfe der höheren Mathematik kann sogar die Gleichheit zwischen O und 4 r 2 π gezeigt werden. Daher kann man festlegen: Für den Oberflächeninhalt O einer Kugel mit dem Radius r gilt: O = 4 r 2 π Aufgaben Grundlagen Berechne den Oberflächeninhalt O der Kugel mit dem Radius r! a) r = 2m b) r = 85 cm c) r = 3,72dm d) r = 9,1mm e) r = 4,06 cm Berechne den Radius r der Kugel mit dem Oberflächeninhalt O! a) O = 2,78m 2 b) O = 804 cm 2 c) O = 28,3m 2 d) O = 52 π dm 2 e) O = 1 444 π mm 2 Ein aufgespannter Fallschirm hat die Form einer Halbkugelsphäre mit dem Radius 2m. Berechne den Inhalt O der Fallschirmoberfläche! Der annähernd kugelförmige Planet Mars hat einen Äquatorumfang von ca. 21 350 km. Berechne den Inhalt O der Marsoberfläche! Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Eine Medikamentenkapsel hat die Maße wie in nebenstehender Abbildung. Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O der Kapsel! Ein gleichseitiger Drehzylinder (2 r = h) und eine Kugel haben denselben Radius r. Zeige, dass der Mantelflächeninhalt M des Drehzylinders gleich dem Oberflächeninhalt O der Kugel ist! M 7.106 O 7.107 O 7.108 O 7.109 O 18mm 6mm 7.110 D O 7.111 O A 196 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv