Mathematik verstehen 4, Schulbuch

7.7 Volumen und Oberflächeninhalt der Kugel Volumen der Kugel In zwei Gefäße wird gleichzeitig und gleichmäßig Wasser eingefüllt. Das erste Gefäß ist ein Drehzylinder, aus dem ein Drehkegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe heraus- ragt, sodass sich das Wasser nur um den Kegel herum sammeln kann. Von oben betrachtet kann man stets einen Kreisring aus Wasser erkennen. Das zweite Gefäß ist eine Schale in Halbkugelform. Von oben betrachtet kann man stets eine Kreisfläche aus Wasser erkennen. Beim Einfüllen ist der Wasserstand jeweils stets gleich. Überlegt, ob die beiden Gefäße dasselbe Volumen haben! Betrachtet man die beiden Gefäße im Querschnitt, erkennt man, dass die Breite des Kreisrings im ersten Gefäß h ist, da die Erzeugende des Kegels um 45° geneigt ist. Für den Flächeninhalt des Kreisrings im ersten Gefäß gilt daher: ​A​ Kreisring ​ = r 2 π – (r – h) 2 π = (r 2 – (r – h) 2 )· π = (r 2 – r 2 + 2 r h – h 2 )· π = (2 r h – h 2 )· π = (2 r – h)· π h Im zweiten Gefäß lässt sich der Radius x der Kreisfläche mit dem pythagoräischen Lehrsatz herleiten: x 2 = r 2 – (r – h) 2 . Für den Flächeninhalt der Kreisfläche im zweiten Gefäß gilt daher: ​A​ Kreisfläche ​ = x 2 π = (r 2 – (r – h) 2 )· π = (r 2 – r 2 + 2 r h – h 2 )· π = (2 r h – h 2 )· π = (2 r – h)· π h Die Inhalte von Kreisring und Kreisfläche sind gleich . Das Prinzip von CAVALIERI (siehe Mathematik verstehen 3, Seite 256) besagt, dass zwei Körper mit gleicher Höhe h das gleiche Volumen haben, wenn die Inhalte aller ebenen Schnittflächen miteinander übereinstimmen, die parallel zu einer vorgegebenen Ebene in jeder Höhe durchgeführt werden. Daher sind die Wasservolumina in beiden Gefäßen gleich . Sind nun beide Gefäße vollständig gefüllt, gilt für das Wasservolumen V 1 im ersten Gefäß: V 1 = V Drehzylinder – V Drehkegel = r 2 π ·r – ​ r 2 π ·r ____ 3 ​= ​ 3 r 3 π ___ 3 ​– ​ r 3 π ___ 3 ​= ​ 2 r 3 π ___ 3 ​ Da die Volumina in beiden Gefäßen gleich sind, gilt V 1 auch für das zweite Gefäß mit dem Wasservolumen V 2 , die Halbkugel: V 2 = ​ 2 r 3 π ___ 3 .​ Das Volumen V einer Kugel ist nun das Doppelte des Volumens der Halbkugel V 2 , also: V = 2·V 2 = 2·​ 2 r 3 π ___ 3 ​= ​ 4 r 3 π ___ 3 ​ Für das Volumen V einer Kugel mit dem Radius r gilt: V = ​ 4 r 3 π ___ 3 ​ h r r 7.92 B h r r ‒ h h 45° 45° r r ‒ h r x 194 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv