Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Oberflächeninhalt des Drehkegels Marion meint, die abgerollte Mantelfläche eines Drehkegels sei ein gleichschenkeliges Dreieck. Hat sie mit ihrer Vermutung Recht? Versucht, aus einem gleichschenkeligen Dreieck die Mantel- fläche eines Drehkegels zu formen! Man kann erkennen, dass es beim Aufrollen eines gleichschenkeligen Dreiecks (Abb. 7.1) zu einem Problem kommt (Abb. 7.2), wenn die Mantelfläche eines Drehkegels entstehen soll. Beim Aufrollen eines Kreissektors (Abb. 7.3) entsteht hingegen die Mantelfläche eines Dreh- kegels (Abb. 7.4). Die Länge des Kreisbogens entspricht dabei genau dem Umkreis der Grund- fläche des Drehkegels. Probiert es selbst aus (Anhang des Buches)! Abb. 7.1 Abb. 7.2 Abb. 7.3 Abb. 7.4 Berechne den Inhalt M der Mantelfläche eines Drehkegels mit der Erzeugendenlänge s = 8 cm und dem Grundflächenradius r = 3 cm! Lösung: Ist b die Kreisbogenlänge des Kreissektors, gilt für den Flächeninhalt A des s r 2r π Kreissektors die Formel A = ​ b·r ___ 2 ​. Nun entspricht der Kreisbogenlänge b ge- rade der Umfang u = 2rπ der Grundfläche. Der Radius des Kreissektors ist hier aber nicht r, sondern die Erzeugendenlänge s. Da- mit gilt für den Inhalt M der Mantelfläche: M = ​ u·s ___ 2 ​= ​ 2 r π ·s ____ 2 ​= r· π ·s Der Inhalt M der Mantelfläche ist somit M = 3· π ·8 = 24 π ≈ 75,4 (cm 2 ) Der Oberflächeninhalt O des Drehkegels setzt sich aus Grundflächeninhalt G und Mantel­ flächeninhalt M zusammen, also: O = G + M . Berechne die Erzeugendenlänge s eines Drehkegels mit dem Radius r = 3 cm und der Höhe h = 4 cm! Lösung: s 2 = r 2 + h 2 , s = ​ 9 _____ r 2 + h 2 ​, s = ​ 9 _____ 3 2 + 4 2 ​= 5 (cm) Es seien r der Radius, h die Höhe und s die Erzeugendenlänge eines Drehkegels. Für den Mantelflächeninhalt M eines Drehkegels gilt: M = r π ​ 9 _____ r 2 + h 2 ​= r π s Für den Oberflächeninhalt O eines Drehkegels gilt: O = r 2 π + r π ​ 9 _____ r 2 + h 2 ​= r 2 π + r π s Bemerkung: Der Faktor r π kann herausgehoben werden: O = r π ·​ “ r + ​ 9 _____ r 2 + h 2 ​ § ​= r π ·(r + s) 7.75 B 7.76 O Ó 7.77 O Ó Demo – 67nw9k 191 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv