Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Einem Drehkegel mit dem Radius r = 10 cm und der Höhe h = 20 cm sind zwei Pyramiden eingeschrieben, eine quadratische und eine regelmäßige achtseitige. 1) Berechnet das Volumen V 1 der quadratischen Pyramide! 2) Berechnet das Volumen V des Drehkegels! 3) Zeigt, dass für das Volumen V 2 der regelmäßigen achtseitigen Pyramide die Kleiner-Kette V 1 < V 2 < V gilt! Die Grundfläche eines Sandhaufens der Form eines Drehkegels hat einen Umfang von 10m. Die Erzeugende ist 3,1m lang. Die Dichte des Sandes beträgt ca. 1,7g/cm 3 . Berechne 1) das Volumen V, 2) die Masse m des Sandhaufens! Die vier Silos vor einem Lagerhaus bestehen aus je einem Drehzylinder, einem Drehkegelaufsatz mit der Höhe 2,65m und einem Drehkegeltrichter unten mit der Höhe 4,59m. Der Durchmesser beträgt 9,18m, das Gesamtvolumen beträgt 1 370m 3 . 1) Berechne die Höhe des zylindrischen Teils! 2) Zeichne den Achsenschnitt eines Silos im Maßstab 1250! Bei einem gleichseitigen Drehkegel ist die Erzeugende s genauso lang wie der Durchmesser d der Grundfläche. Der Achsenschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck. 1) Gib eine möglichst einfache Formel für das Volumen V an! 2) Berechne das Volumen V eines gleichseitigen Drehkegels mit dem Radius 3 cm! Ermittle das Volumen V des Drehkegelstumpfes mit dem Grund- flächenradius r 1 , dem Deckflächenradius r 2 und der Höhe h, wenn der vollständige Kegel die Höhe h 1 hat! a) r 1 = 50 cm, r 2 = 20 cm, h = 18 cm, h 1 = 30 cm b) r 1 = 36 cm, r 2 = 24 cm, h = 8 cm, h 1 = 24 cm c) r 1 = 84 cm, r 2 = 38 cm, h = 46 cm, h 1 = 84 cm Zeige, dass für den Drehkegelstumpf in Aufgabe 7.71 Folgendes gilt: 1) r 1 h 1 = r 2 h 2 2) V =  (r  1 3 – r 2 3 )· π h 2 ________ 3r 2 3) V =  π h __ 3 · “ r  1 3 – r 2 3 _____ r 1 – r 2 § Ein 50 cm hoher Holzdrehkegel mit einem Grundflächenradius von 30 cm soll parallel zur Grundfläche so durchgesägt werden, dass beide Teile dasselbe Volumen haben. Berechne, in welcher Höhe von der Grundfläche aus der Schnitt gemacht werden muss! Kreuze nur die korrekte Aussage für Drehkegel mit dem Radius r und der Höhe h an! Wird r verdoppelt, so wird auch das Volumen stets verdoppelt. Wird h verdoppelt, so wird auch das Volumen stets verdoppelt. Werden r und h verdoppelt, so wird das Volumen stets vervierfacht. 7.67 O I B 7.68 O 7.69 D O 7.70 D O h h 1 h 2 r 1 r 2 7.71 D O 7.72 O A 7.73 D O 7.74 I 190 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv