Mathematik verstehen 4, Schulbuch

1.2 Wurzeln aus einer reellen Zahl Die Quadratwurzel Ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 cm und 2 cm soll in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt um- geformt werden. Welche Seitenlänge x hat dieses Quadrat? Lösung: Der Flächeninhalt A des Rechtecks beträgt 8·2 = 16 (cm 2 ). Der Flächeninhalt A des Quadrats beträgt somit auch 16 cm 2 . Dieser lässt sich mit A = x·x bzw. A = x 2 berechnen. Der Flächeninhalt A ist mit 16 cm 2 ge- geben, also 16 = x 2 . Daher ist x =  9 __ 16= 4. Die Seite x des Quadrats ist 4 cm lang, da 4·4 = 4 2 = 16. Ist eine reelle Zahl a º 0, so nennt man jene nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel (oder Wurzel ) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit √a . Es gilt √a = b genau dann, wenn b 2 = a (a, b º 0). Beim Radizieren oder einfach (Quadrat-)Wurzelziehen ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen der Radikand . Berechne jeweils die Seitenlänge des Quadrats mit dem Flächeninhalt 1) 49 cm 2 , 2) 6,25 cm 2 , 3) 16 __ 9 cm 2 , 4) 80 cm 2 ! Welche Eigenschaft(en) haben die Maßzahlen jeweils? Lösung: 1) 9 __ 49= 7. Die Seitenlänge beträgt 7cm. Die Maßzahl 7 ist eine natürliche Zahl. 2) 9 ____ 6,25= 2,5. Die Seitenlänge beträgt 2,5cm. Die Maßzahl 2,5 ist eine rationale Zahl. 3) 9 __ 16 __ 9 = 4 _ 3 . Die Seitenlänge beträgt 4 _ 3 cm. Die Maßzahl 4 _ 3 = 1, • 3ist eine Zahl mit periodischer Dezimaldarstellung, also eine rationale Zahl. 4) 9 __ 80= 8,944271 91 … . Die Seitenlänge beträgt rund 8,9 cm. Die Maßzahl 9 __ 80ist eine Zahl mit unendlicher, nicht periodischer Dezimaldarstellung, also keine rationale Zahl. Es handelt sich um eine irrationale Zahl. Die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl kann –– eine natürliche Zahl , –– eine positive rationale Zahl oder –– eine positive irrationale Zahl sein. Bemerkungen: √0 = 0, da 0·0 = 0. Die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl kann kein Ergebnis im Bereich der reellen Zahlen haben, da weder das Quadrieren einer positiven noch das Quadrieren einer negativen Zahl jemals ein negatives Produkt ergibt. 1.15 O 8 cm 2 cm x x A A Ó 1.16 O Ó Demo – x4i2ur 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv