Mathematik verstehen 4, Schulbuch

7.5 Volumen und Oberflächeninhalt des Drehkegels Volumen des Drehkegels Für das Volumen V eines Drehzylinders gilt wie für das Volumen eines Prismas die Formel V = G·h, wobei G der Grundflächeninhalt und h die Höhe ist. Kann demnach für das Volumen eines Drehkegels angenommen werden, dass dafür die Formel für das Volumen V einer Pyramide mit V = ​ G·h ___ 3 ​gilt? Überlegt, wie dies festgestellt werden kann! Ein Drehkegel hat den Radius r = 5 cm und die Höhe h = 12 cm. Dem Kegel ist jeweils eine sechsseitige Pyramide umgeschrieben und eine solche eingeschrieben. 1) Berechne das Volumen V e der eingeschriebenen Pyramide! 2) Berechne das Volumen V u der umgeschriebenen Pyramide! 3) Das Volumen V des Drehkegels ist mit 100 π cm 3 ≈ 314 cm 3 angegeben. Kann man aus V e , V u und V eine Formel für das Volumen eines Drehkegels erahnen? Lösung: 1) G e = 6·​ 5 2 ·​ 9 __ 3​ ____ 4 ​= 37,5·√3; V e = ​ ​G​ e ​·h ___ 3 ​= ​ 37,5·​ 9 __ 3·​ 12 _______ 3 ​= 150 √3 ≈ 260 (cm 3 ) 2) Für die Seitenlänge a der umgeschriebenen Sechsecksgrundfläche gilt: 5 = ​ a·​ 9 __ 3​ ___ 2 ​ w a = ​ 10 __ ​ 9 __ 3​ ​ G u = 6·​ ​ “ ​ 10 __ ​ 9 __ 3​ ​ § ​ 2 ​·​ 9 __ 3​ _____ 4 ​= 6·​ 25·​ 9 __ 3​ ____ 3 ​= 50 √3; V u = ​ ​G​ u ·​ h ___ 3 ​= ​ 50·​ 9 __ 3·​ 12 ______ 3 ​= 200 √3 ≈ 346 (cm 3 ) 3) Es ist 260 < 314 < 346 und damit V e < V < V u . Würde man nicht nur sechsseitige, sondern zwölfseitige, 24-seitige, … Pyramiden ein- und umschreiben, so würde sich das Volumen des Drehkegels immer besser einschranken lassen. Für das Volumen V eines Drehkegels kann man die Formel V = ​ G·h ___ 3 ​erahnen. Das Volumen V jeder Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h lässt sich mit der Formel V = ​ G·h ___ 3 ​ berechnen. Wenn nun die Grundfläche kein n-Eck, sondern ein Kreis ist, gilt diese Formel ebenso. Dies lässt sich mithilfe der höheren Mathematik beweisen, wir legen daher für jeden Drehkegel mit dem Radius r, dem Grundflächeninhalt G = r 2 π und der Höhe h Folgendes fest: V = ​ G·h ___ 3 ​ = ​ r 2 π ·h ____ 3 ​ . Für das Volumen V eines Drehkegels mit dem Radius r und der Höhe h gilt: V = ​ r 2 π h ___ 3 ​ Aufgaben Grundlagen Berechne das Volumen V der geraden Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h! a) G = 53 cm 2 ; h = 12 cm c) G = 6,1m 2 ; h = 6,42m e) G = 72,7cm 2 ; h = 1,8m b) G = 941 dm 2 ; h = 33dm d) G = 8,05m 2 ; h = 0,9dm f) G = 1,01m 2 ; h = 99mm C 7.53 7.54 h r D O 7.55 O 188 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv