Mathematik verstehen 4, Schulbuch

7.3 Volumen und Oberflächeninhalt des Drehzylinders Volumen des Drehzylinders Eine Betonsäule soll die Form eines 10m hohen Prismas haben, dessen Grund- und Deckfläche ein regelmäßiges 24-Eck mit dem Inhalt G = 2,5m 2 ist. Berechne, wie viel Kubikmeter Beton für die Fertigung dieser Säule benötigt werden! Lösung: Für das Volumen V des Prismas gilt: V = G·h. V = G·h = 2,5·10 = 25 Es werden 25m 3 Beton benötigt. Die Säule in Aufgabe 7.07 hat als Grundfläche ein 24-Eck, das bei schnellem Hinsehen fast als Kreis wahrgenommen werden kann. Noch deutlicher wird dies bei Prismen mit noch mehr Ecken. Das Volumen V jedes Prismas mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h lässt sich mit der Formel V = G·h berechnen. Wenn nun die Grundfläche kein n-Eck, sondern ein Kreis ist, gilt diese Formel ebenso. Dies lässt sich mithilfe der höheren Mathematik beweisen, wir legen daher für jeden Drehzylinder mit dem Radius r, dem Grundflächeninhalt G = r 2 π und der Höhe h Folgendes fest: V = G·h = r 2 π ·h . Für das Volumen V eines Drehzylinders mit dem Radius r und der Höhe h gilt: V = r 2 π h Aufgaben Grundlagen Berechne das Volumen V des geraden Prismas mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h! a) G = 80 cm 2 ; h = 7cm c) G = 3m 2 ; h = 4,09m e) G = 99 cm 2 ; h = 5,3m b) G = 368mm 2 ; h = 53mm d) G = 77dm 2 ; h = 8,7m f) G = 0,08m 2 ; h = 18mm Berechne das Volumen V des Drehzylinders mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h! a) G = 45m 2 ; h = 6,5m c) G = 4,5dm 2 ; h = 2,9dm e) G = 0,5m 2 ; h = 96 cm b) G = 73 cm 2 ; h = 53 cm d) G = 1,1 cm 2 ; h = 82mm f) G = 281mm 2 ; h = 0,32m Berechne das Volumen V des Drehzylinders mit dem Radius r und der Höhe h! a) r = 5 cm; h = 4 cm c) r = 0,4m; h = 2,11m e) r = 72mm; h = 61 cm b) r = 8,5dm; h = 2,1 dm d) r = 93 cm; h = 1,2m f) r = 3,2m; h = 29 cm Aus Beton soll eine drehzylinderförmige Säule mit einem Durchmesser von 80 cm und einer Höhe von 3,5m hergestellt werden. Wie viel Kubikmeter Beton sind dafür nötig? Eine 15 cm hohe drehzylinderförmige Kerze mit einem Durchmesser von 5 cm wird angezün- det. Nach einigen Stunden ist sie nur mehr 11 cm hoch. Wie viel Kubikzentimeter Wachs haben sich in dieser Zeit verflüssigt? 7.07 G h O 7.08 O 7.09 O 7.10 O 7.11 O 7.12 D O 182 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv