Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Der Flächeninhalt eines Kreissegments In eine kreisrunde Tischplatte mit dem Durchmesser 1,4m ist ein Kreis- segment aus Glas eingearbeitet, das durch einen Kreisbogen und eine Kreissehne der Länge 70 cm begrenzt ist. Berechne den Flächeninhalt A des Kreissegments aus Glas! Lösung: Betrachtet man die Tischplatte von oben, lässt sich erkennen, dass der Flächeninhalt A des Kreis- segments die Differenz der Inhalte des Kreis- sektors mit dem Zentriwinkelmaß α und des Dreiecks ist, das von den beiden Radien und der Kreissehne s begrenzt wird. Da der Durchmesser der Tischplatte 1,4m = 140 cm, ist der Radius r = 70 cm. Da die Kreissehne s ebenfalls 70 cm lang ist, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck mit r = s. Dadurch ist auch das Zentri- winkelmaß α = 60° ermittelt. Flächeninhalt A S des Kreissektors: A S = ​ 60 ___ 360 ·​ 70 2 · π = ​ 2450 ____ 3 ​ π Flächeninhalt A D des gleichseitigen Dreiecks: A D = ​ 70 2 __ 4 ·√3 = 1 225·√3 Flächeninhalt A des Kreissegments: A = A S – A D = ​ 2450 ____ 3 ​ π – 1 225·√3 ≈ 443,9 (cm 2 ) Berechne den Flächeninhalt A des Kreissegments, wenn r = 5,6 cm, s = 9 cm und α = 107°! Lösung: Flächeninhalt A S des Kreissektors: A S = ​ 107 ___ 360 ·​ 5,6 2 · π ≈ 29,28 Da in diesem Kreissektor kein gleichseitiges, sondern nur ein gleichschenkeliges Dreieck liegt, muss dessen Höhe h s mit dem pythagoräischen Lehrsatz ermittelt werden: h s = ​ 9 ______ r 2 – ​ “ ​ s _ 2 ​ § ​ 2 =​ ​ 9 _______ 5,6 2 – ​ “ ​ 9 _ 2 ​ § ​ 2 ≈ 3,333 Flächeninhalt A D des gleichschenkeligen Dreiecks: A D = ​ s·​h​ s ​ ___ 2 ≈ 9 ·3,333 _____ 2 ≈ 15 Flächeninhalt A des Kreissegments: A = A S – A D ≈ 29,28 – 15 ≈ 14,28 (cm 2 ) Ist r der Radius eines Kreises und A D der Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks, das von den Schenkeln der Länge r und der Kreissehne der Länge s begrenzt ist, gilt für den Flächeninhalt A des Kreissegments mit dem zugehörigen Zentriwinkelmaß α : A = ​ α ___ 360 ​·r​ ​ 2 ​· π – ​A​ D ​= ​ α ___ 360 ·​ r 2 · π – ​ s·​ 9 _____ r 2 – ​ s 2 __ 4 ​​ ______ 2 ​ Bemerkungen: Ist α = 60°, gilt für den Flächeninhalt A D des gleichseitigen Dreiecks: A D = ​ r 2 __ 4 ​​ 9 __ 3.​ Ist α = 90°, gilt für den Flächeninhalt A D des rechtwinkelig-gleichschenkeligen Dreiecks: A D = ​ r 2 __ 2 .​ Ist α = 150°, gilt für den Flächeninhalt A D des gleichschenkeligen Dreiecks: A D = ​ r 2 __ 4 .​ 6.68 O M r r α s 6.69 O α M r r h s s 173 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv