Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Ein Glücksrad mit dem Radius r = 7dm hat drei unterschiedlich große Gewinnsektoren: Der Sektor für den 1. Preis hat das Zentriwinkelmaß α 1 = 40°, jener für den 2. Preis α 2 = 85°. Der restliche Sektor ist für Trostpreise vorgesehen. 1) Gib die Flächeninhalte der drei Sektoren an! 2) Wie viel Prozent des Kreisflächeninhalts macht der Inhalt des Sektors „1. Preis“ aus? Lösung: 1) Sektor „1. Preis“: A 1 = ​ 40 ___ 360 ·​ 7 2 · π = ​ 1 960 ___ 360 ​· π ≈ 17,1 (dm 2 ) Sektor „2. Preis“: A 2 = ​ 85 ___ 360 ·​ 7 2 · π = ​ 4165 ___ 360 ·​ π ≈ 36,3 (dm 2 ) Sektor „Trostpreis“: α 3 = 360° – (40° + 85°) = 235° A 3 = ​ 235 ___ 360 ·​ 7 2 · π = ​ 11 515 ____ 360 ·​ π ≈ 100,5 (dm 2 ) 2) Es gilt: x% von 360° sind 40° w ​ x ___ 100 ​· 360 = 40 w x = 11,​ • 1​ Der Inhalt des Sektors „1. Preis“ macht ca. 11% des Kreisflächeninhalts aus. Ist A k der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r, gilt für den Flächeninhalt A des Kreissektors mit dem zugehörigen Zentriwinkelmaß α : A = ​ α ___ 360 ·​ ​A​ k ​= ​ α ___ 360 ·​ r 2 · π Ist statt des Zentriwinkelmaßes α die Länge b des zugehörigen Kreis- bogens gegeben, kann folgende Überlegung angestellt werden: Da b = ​ α ___ 360 ·​ 2 r π , erhält man durch Umformungen α = ​ 360b ____ 2 r π ​ . In die Formel A = ​ α ___ 360 ·​ r 2 · π wird für α nun ​ 360b ____ 2 r π ​ eingesetzt: A = ​ α ___ 360 ·​ r 2 · π = α ·​ 1 ___ 360 ·​ r 2 · π = ​ 360b ____ 2 r π ​ ·​ 1 ___ 360 ​· r 2 · π = ​ b ___ 2 r π ​ · r 2 · π = ​ b r __ 2 ​ Ist r der Radius des Kreises und b die Länge eines Kreisbogens, gilt für den Flächeninhalt A des zugehörigen Kreissektors : A = ​ b·r ___ 2 ​ Aufgaben Grundlagen Berechne den Flächeninhalt A des Kreissektors mit dem Radius r und dem Zentriwinkelmaß α ! a) r = 7cm, α = 59° b) r = 34mm, α = 126° c) r = 0,7m, α = 3° d) r = 1 km, α = 300° Berechne den Flächeninhalt A des Kreissektors mit dem Radius r und der Kreisbogenlänge b! a) r = 8 cm, b = 45 cm b) r = 1,2m, b = 42dm c) r = 3m, b = 1 dm d) r = b = 56mm Berechne die fehlenden Maße des Kreissektors! a) b) c) d) e) f) Radius r 6,3m 18dm Kreisbogenlänge b 10,1m 29 cm 74m Zentriwinkelmaß α 97° 14° 200° 349° Flächeninhalt A 84,5dm 2 2738m 2 993 cm 2 6.57 D O 1. Preis 2. Preis Trostpreise α 1 α 2 α 3 A b r r α 6.58 O 6.59 O 6.60 D O 171 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv