Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Für ein Quadrat mit der Seitenlänge a und dem Flächeninhalt A gilt: a = 1 w A = a 2 = 1; a = 2 w A = a 2 = 4; a = 3 w A = a 2 = 9; a = 0,5 w A = a 2 = 0,25; … Für einen Kreis mit dem Radius r und dem Flächeninhalt A muss also Folgendes gelten: Verdoppelt man den Radius r eines Kreises, wird dessen Flächeninhalt A vervierfacht. Verdreifacht man den Radius r eines Kreises, wird dessen Flächeninhalt A verneunfacht. Halbiert man den Radius r eines Kreises, wird dessen Flächeninhalt A geviertelt. Wir können nun für den Flächeninhalt eines Kreises vermuten: r = 1 w A = π ; r = 2 w A = 4 π ; r = 3 w A = 9 π ; r = 0,5 w A = 0,25 π ; … Es fehlt nur noch eine Formel. Dabei soll die Idee des Umordnens von Kreissektoren helfen. Teilt man einen Kreis in 16 Sektoren und reiht diese anschließend so auf, dass näherungs- weise ein Parallelogramm entsteht, so entspricht der halbe Kreisumfang annähernd der waagrechten Seitenlänge a des Parallelogramms. Der Kreisradius entspricht dabei der Höhe h des Parallelogramms. r r ≈ u 2 Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms gilt: A = a·h. Setzt man nun für a den halben Kreisumfang und für h den Radius ein, ergibt sich: A ≈ ​ u _ 2 ​· r = ​ 2 r π ___ 2 ​·r = r 2 π Die Vermutungen zu den Flächeninhalten von Kreisen könnten sich hiermit bestätigen. Jedoch ist das auch nur ein Näherungswert. Würde man den Kreis aber in immer mehr Sektoren auf- teilen und diese zu einem Parallelogramm aneinanderreihen, wird die Näherung immer bes- ser und wir können festlegen: Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r bzw. dem Durchmesser d gilt: A = r 2 · π bzw. A = ​ “ ​ d _ 2 ​ § ​ 2 ·​ π Aufgaben Grundlagen Berechne den Flächeninhalt A des Kreises mit dem Radius r! a) r = 5 cm b) r = 1,2m c) r = 0,83dm d) r = 17mm e) r = 1 km Berechne den Flächeninhalt A des Kreises mit dem Durchmesser d! a) d = 18m b) d = 43mm c) d = ​ 1 _ 3 ​km d) d = 0,22dm e) d = 27,03 cm Berechne den Radius r des Kreises mit dem Flächeninhalt A! a) A = 64mm 2 b) A = 3dm 2 c) A = 153 cm 2 d) A = 0,38 km 2 e) A = 11m 2 6.31 O 6.32 O 6.33 O 167 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv