Mathematik verstehen 4, Schulbuch

6.4 Der Flächeninhalt eines Kreises Schätze, wie groß der Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r = 1 cm ist! Lösung: Der Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r = 1 cm ist sicher kleiner als der eines umge- schriebenen Quadrats (4 cm 2 ) und sicher größer als der eines eingeschriebenen Quadrats (2 cm 2 ). Wir können die Flächeninhalte der beiden Qua- drate als Schranken ansehen: 2 cm 2 < A < 4 cm 2 Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ca. 3 cm 2 . Jetzt lässt sich natürlich vermuten, dass der Flächeninhalt nicht 3 cm 2 , sondern vermutlich π cm 2 groß ist. Wie schon beim Ermitteln des Verhältnisses von Kreisumfang zu Kreisdurch- messer kann dazu eine genauere Einschrankung mit Sechsecken herangezogen werden: Schreibe einem Kreis mit dem Radius r = 1 ein regelmäßiges Sechseck ein und ein regelmäßiges Sechseck um, berechne jeweils den Flächeninhalt der beiden Sechsecke und ermitt- le damit Schranken für den Flächeninhalt A des Kreises! Lösung: Flächeninhalt A e des eingeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Seitenlänge 1 haben: A e = 6· 1 2 __ 4 ·√3 =  3 _ 2 ·√3 ≈ 2,6 Flächeninhalt A u des umgeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Höhe 1 haben. Für die Seitenlänge a des umgeschriebenen Sechsecks gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: “ a _ 2 § 2 + 1 2 = a 2 w a 2 –  “ a _ 2 § 2 = 1 w 3a 2 ___ 4 = 1 w 3a 2 = 4 w a 2 = 4 _ 3 w a = 2 __ 9 __ 3 A u = 6· “ 2 __ 9 __ 3 § 2 ___ 4 ·√3 = 6· 4 _ 3 _ 4 ·√3 = 6· 1 _ 3 ·√3 = 2 √3 ≈ 3,46 Da A e < A < A u , gilt 2,6 < A < 3,46 . Ermittle wie in Aufgabe 6.29 Schranken für den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r = 2! Ist der Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Kreises mit r = 1? Begründe! Lösung: Flächeninhalt A e des eingeschriebenen Sechsecks: A e = 6· 2 2 __ 4 ·√3 = 6·√3 ≈ 10,4 Flächeninhalt A u des umgeschriebenen Sechsecks: “ a _ 2 § 2 + 2 2 = a 2 w a 2 –  “ a _ 2 § 2 = 4 w 3a 2 ___ 4 = 4 w 3a 2 = 16 w a 2 = 16 __ 3 w a = 4 __ 9 __ 3 A u = 6· “ 4 __ 9 __ 3 § 2 ___ 4 ·√3 = 6· 16 __ 3 __ 4 ·√3 = 6· 4 _ 3 ·√3 = 8 √3 ≈ 13,86 Da A e < A < A u , gilt 10,4 < A < 13,86 . Nein, der Flächeninhalt eines Kreises mit r = 2 ist viermal so groß wie der eines Kreises mit r = 1. Verdopplung aller Seitenlängen führt zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts. 6.28 D 1 6.29 O A 1 1 1 Ó 6.30 O A Ó Werkzeug – d28uc7 166 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv