Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Nun geht die Suche nach dieser konstanten Größe weiter: Um das Jahr 480 ermittelt der Chinese TSU CHUNG‒CHIH den Wert  355 ___ 113 ≈ 3,141 5929, FIBONACCI kam im Jahr 1220 auf 864 ___ 275 = 3,14 __ 18. Im Jahr 1579 fand François VIÈTE mithilfe eines 393216-Ecks Schranken für den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser 1, die bis auf neun Nachkommastellen genau waren: 3,141 5926535 < u < 3,141 5926537 Heute weiß man, dass diese Größe eine irrationale Zahl ist, die ihre Bezeichnung π [lies: pi] nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Worts für Umfang, nämlich περιμετρος (perímetros), und den Wert 3,141 5926535897932384626433832795… hat. Da in jedem Kreis ud = π 1 gilt, stellt die Zahl π auch in jedem Kreis das Verhältnis von Umfang u zu Durchmesser d dar: u _ d = π Bemerkung: Die Zahl π bezeichnet man als transzendent irrational, da sie nicht die Wurzel einer rationalen Zahl ist. Diese nennt man nämlich algebraisch irrational. Mittlerweile wurde die Zahl π auf mehr als zwei Billionen Nachkommastellen genau ermittelt. Jedoch sind selbst für astronomische Berechnungen häufig nur die ersten 20 Nachkommazif- fern ausreichend. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Der Schweizer Künstler Eugen JOST (*1950) hat das folgende kleine Gedicht verfasst: Wie? O! Dies π Macht ernstlich so vielen viele Müh’! Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein Versucht herauszufinden, warum man nach dem Auswendiglernen dieses Gedichts automa- tisch die ersten 23 Nachkommaziffern von π beherrscht! Konstruiere einen Kreis mit dem Durchmesser d = 1 dm! Schreibe diesem ein regelmäßiges Achteck ein und ein regelmäßiges Achteck um, ermittle durch Abmessen jeweils den Umfang der beiden Achtecke und gib damit Schranken für den Umfang u des Kreises an! < u < Setze den Term in Klammern nach dem vorgegebenen Schema beliebig lang weiter fort und ermittle dann ein Gesamtergebnis! Was fällt auf? a) 4· “ 1 – 1 _ 3 +  1 _ 5 – 1 _ 7 +  1 _ 9 – 1 __ 11 +  1 __ 13 – … § b) 2· “ 2 _ 1 ·  2 _ 3 ·  4 _ 3 ·  4 _ 5 ·  6 _ 5 ·  6 _ 7 ·  8 _ 7 ·  8 _ 9 · … § Zeige, dass 6· “ 1 +  1 __ 2 2 +  1 __ 3 2 +  1 __ 4 2 +  1 __ 5 2 +  1 __ 6 2 +  1 __ 7 2 +  1 __ 8 2 + … § = π 2 , indem du den Term des zweiten Faktors nach dem vorgegebenen Schema beliebig lang fortsetzt! Hinweis: Je mehr Summanden verwendet werden, desto genauer ist die Näherung. Ó I A 6.04 B M r =0,5 d= 1 D O 6.05 6.06 O I 6.07 O A 162 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv