Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Anhand der Experimente in den Aufgaben 6.01 und 6.02 kann man erkennen, dass der Um- fang eines Kreises etwas länger als das Dreifache des Durchmessers ist. Bereits in der Antike hat man den Kreisumfang mit dem 3-Fachen des Durchmessers ange- geben. Im Alten Testament der Bibel wird der Umfang als das 3-Fache und in einer neueren Auslegung des hebräischen Originaltextes als das 3,1415-Fache des Durchmessers gedeutet. Die Babylonier gaben für den Umfang das 3 1 _ 8 -Fache des Durchmessers an. ARCHIMEDES (ca. 287 v. Chr. – 212 v. Chr.) meint, dass das Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser größer als 3 10 __ 71 ≈ 3,140845, aber klei - ner als 3 1 _ 7 =  22 __ 7 ≈ 3,142857 sein müsse. Er ist dabei von der Idee ausgegan - gen, dem Kreis Vielecke einzuschreiben sowie umzuschreiben und so mit den Umfängen der Vielecke Schranken für den Kreisumfang zu finden. Er hat dafür das 96-Eck ausgewählt. Die Idee kann man aber schon mit Sechsecken nachvollziehen. Schreibe einem Kreis mit dem Durchmesser d = 1 ein regelmäßiges Sechseck ein und ein re- gelmäßiges Sechseck um, berechne jeweils den Umfang der beiden Sechsecke und ermittle damit Schranken für den Umfang u des Kreises! Lösung: Beträgt der Durchmesser des Kreises d = 1, so ist der Radius r = 0,5. Umfang u e des eingeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Seitenlänge 0,5 haben. Für den Umfang u e gilt daher: u e = 6·0,5 = 3 Umfang u u des umgeschriebenen Sechsecks: Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, die alle die Höhe 0,5 haben. Für die Seitenlänge a des umgeschriebenen Sechsecks gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: “ a _ 2 § 2 + 0,5 2 = a 2 w a 2 –  “ a _ 2 § 2 = 0,25 w 3a 2 ___ 4 = 0,25 w 3a 2 = 1 w a 2 = 1 _ 3 w a = 1 __ 9 __ 3 Für den Umfang u u gilt daher: u u = 6· 1 __ 9 __ 3 = 6· 1· 9 __ 3 ____ 9 __ 3· 9 __ 3 = 6· 9 __ 3 __ 3 = 2 √3 ≈ 3,46 Da u e < u < u u , gilt 3 < u < 3,46 . Mithilfe eines eingeschriebenen und eines umgeschriebenen Sechsecks kann man den Um- fang eines Kreises mit dem Durchmesser 1 zwischen 3 und ca. 3,46 einschranken. Je größer das n bei ein- und umgeschriebenen n-Ecken ist, desto besser lässt sich der Kreis umfang einschranken. Dieser Wert von ungefähr 3,14 für den Kreisumfang gilt für einen Kreis mit dem Durchmesser d = 1. Da jedoch alle Kreise zueinander ähnlich sind, ist der Umfang eines Kreises mit d = 2 auch doppelt so groß, mit d = 3 dreimal so groß oder mit d = 0,5 nur halb so groß wie für einen Kreis mit d = 1. Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist stets konstant . 6.03 O A d= 1 M 0,5 0,5 Ó Ó Werkzeug – b6r33d 161 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv