Mathematik verstehen 4, Schulbuch

5.6 Beweise Beweis nach EUKLID Über die beiden Katheten des rechtwinkeligen Drei- ecks ABC sowie über dessen Hypotenuse werden Quadrate gezeichnet. Durch A wird eine Parallele AL zu BD gezeichnet; die Punkte A und D sowie C und F werden miteinander verbunden. Die Winkel ¼ BAC und ¼ BAG sind rechte Winkel, daher setzen die Strecken AG und AC einander gerade fort. Entspre- chend dazu wird die Strecke AB durch AH gerade fortgesetzt. Die Winkel ¼ CBD und ¼ FBA sind rechte Winkel. Fügt man zu ¼ CBD den Winkel ¼ ABC hinzu, so ergibt sich dasselbe Maß wie durch Zusammen- fügen der Winkel ¼ FBA und ¼ ABC. Daher gilt: ¼ ABD = ¼ FBC. Da ___ BD=  __ BCund __ BF=  __ AB, ist der Streckenzug AB‒BD dem Streckenzug FB‒BC gleich, und da ¼ ABD = ¼ FBC, folgt __ AD=  __ FCund Dreieck ABD = Dreieck FBC. Der Flächeninhalt des Rechtecks BDLJ, also ___ BD· __ BJ, entspricht dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABD, nämlich 2· ___ BD· __ BJ ____ 2 . Außerdem ist der Flächeninhalt des Quadrats FBAG, also __ FB· __ BA, der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks FBA, nämlich 2· __ FB· __ BA ____ 2 . Daher ist der Flächen- inhalt des Rechtecks BDLJ gleich dem Flächeninhalt des Quadrats FBAG. Da die Winkel ¼ ECB und ¼ ACK rechte Winkel sind, kann man ähnlich wie oben herleiten, dass ¼ ECA = ¼ BCK und somit __ AE=  __ BK, dh. Dreieck ECA = Dreieck BCK. Ähnlich wie oben entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks CJLE der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks ECA. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks CJLE gleich dem Flächeninhalt des Quadrats ACKH. Daraus folgt: Der Flächeninhalt des Quadrats BDEC ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate FBAG und ACKH. Dieser Beweis bietet zusätzlich ein „Schmankerl“: Da der Flächeninhalt des Rechtecks BDLJ ja gleich dem Flächeninhalt des Quadrats FBAG ist bzw. der Flächeninhalt des Rechtecks CJLE ja gleich dem Flächeninhalt des Quadrats ACKH ist, kann der Kathetensatz gleich als mitbewiesen angesehen werden. Beweis nach GARFIELD Kein Mathematiker, sondern der 20. Präsident der USA, James GARFIELD (1831 – 1881), hat 1876 einen Beweis für den pythagoräischen Lehrsatz entwickelt. Sein Ansatz unterscheidet sich von anderen Beweisen dadurch, dass über die Katheten bzw. über die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks keine Quadrate gezeichnet werden. Er zeichnet zwei kongruente rechtwinkelige Dreiecke AED und BCE so nebeneinander, dass die beiden Katheten a und b eine Strecke AB der Länge (a + b) bilden. Dadurch schließen die beiden Hypotenusen c einen rechten Winkel miteinander ein. A H K E D G F B J L C 154 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv