Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 10 cm ist in einer quadratischen Pyra- mide ein Diagonalschnitt. In einer zweiten ebenfalls quadratischen Pyramide ist das Drei- eck ein Mittelschnitt. Berechne, welche der beiden Pyramiden das größere Volumen hat! Lösung: Für die erste Pyramide – im Diagonalschnitt – gilt: h =  9 ______ 10 2 – 5 2 =  9 __ 75= 8,660… ≈ 8,7(cm) d = a· 9 __ 2 w a = d 9 __ 2= 10 9 __ 2= 7,071… ≈ 7,1 (cm) V =  G·h ___ 3 =  a 2 ·h ___ 3 =  “ 10 9 __ 2 § 2 · 9 __ 75 ________ 3 = 144,337… ≈ 144 (cm 3 ) Für die zweite Pyramide – im Mittelschnitt – gilt: h =  9 ______ 10 2 – 5 2 =  9 __ 75= 8,660… ≈ 8,7(cm) V =  G·h ___ 3 =  a 2 ·h ___ 3 =  10 2 · 9 __ 75 _____ 3 = 288,67… ≈ 289 (cm 3 ) Das Volumen der zweiten Pyramide ist doppelt so groß wie das der ersten. Der Mittelschnitt einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit einer Basislänge von 50mm und einer Schenkellänge von 36mm. Stelle dies grafisch dar und berechne a) das Volumen V, b) den Oberflächeninhalt O der Pyramide! Der Diagonalschnitt einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ist ein gleichschenkeliges Drei- eck mit einer Höhe von 8 cm und dem Flächeninhalt von 66 cm 2 . Stelle dies grafisch dar und berechne a) den Oberflächeninhalt O, b) das Volumen V der Pyramide! Leite unter Verwendung der Abbildung für eine regelmäßige sechssei- tige Pyramide mit der Basiskantenlänge a und der Körperhöhe h eine Formel zur Berechnung a) der Länge der Seitenkante s, b) der Höhe h a der Seitenfläche, c) des Oberflächeninhalts O, d) des Volumens V her! Von einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide kennt man die Basiskantenlänge a und die Höhe h. Berechne 1) die Länge s der Seitenkante, 2) das Volumen V, 3) den Oberflächeninhalt O der Pyramide! Beachte dazu auch Aufgabe 5.147! a) a = 45mm, h = 60mm b) a = 2,5 cm, h = 6 cm c) a = 1,5m, h = 0,75m Für einen Tetraeder (regelmäßige dreiseitige Pyramide mit lauter gleich langen Kanten) gilt: O = a 2 9 __ 3, V = a 3 9 __ 2 ___ 12 . Zeige mit h = a 9 __ 6 ___ 3 die Gültigkeit der Formeln für O und V! (Skizze!) Von einem Tetraeder kennt man die Kantenlänge a. Berechne 1) die Körperhöhe h, 2) den Oberflächeninhalt O, 3) das Volumen V! Verwende die Formeln aus Aufgabe 5.149! a) a = 6 cm b) a = 32mm c) a = 1,3m d) a = 4,9 cm e) a = 110mm Für einen Oktaeder (regelmäßige quadratische Doppelpyramide mit lauter gleich langen Kanten) gilt: O = 2·a 2 · 9 __ 3, V = a 3 9 __ 2 ___ 3 . Zeige die Gültigkeit der beiden Formeln! (Skizze!) Berechne für einen regelmäßigen Oktaeder mit der Kantenlänge a 1) den Oberflächeninhalt O, 2) das Volumen V, 3) die Körperhöhe h! Verwende die Formeln aus Aufgabe 5.151! a) a = 62mm b) a = 3,5 cm c) a = 0,7m d) a = 9 cm e) a = 225mm 5.144 D O I h 10 cm 10 cm 10 cm a a h 10 cm 10 cm 10 cm a a 5.145 D O I 5.146 D O I a a √ 3 2 a s h h a 5.147 I A 5.148 O I 5.149 I A D 5.150 O 5.151 I A D 5.152 O 153 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv