Mathematik verstehen 4, Schulbuch

5.3 Der Höhensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck ABC teilt die Höhe h auf die Hypotenuse c diese in zwei Abschnitte der Längen p und q. Die Dreiecke ADC und CDB sind einander ähnlich. Stelle eine Verhältnisgleichung unter Einbeziehung der Höhe h auf! Lösung: Mit den beiden Kathetenlängen der Dreiecke ADC und CDB lässt sich die folgende Verhältnisgleichung aufstellen: hq = ph Diese Verhältnisgleichung lässt sich als Bruchgleichung anschreiben und sinnvoll umformen: ​ h _ q ​= ​ p _ h ​ É h 2 = p·q Höhensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit der Höhe h über der Hypotenuse und den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q hat das Quadrat über der Höhe stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus beiden Hypotenusenabschnitten: h 2 = p·q Aufgaben Grundlagen 1) Formuliere für das dargestellte rechtwinkelige Dreieck den Höhensatz! 2) Forme den Höhensatz so um, dass jede Variable durch die anderen ausgedrückt wird! a) b) c) b a q p h r w g t e x p c m z Berechne mittels Höhensatz die Streckenlänge x! a) b) c) 4 cm 13 cm x 6 cm 8 cm x 0,8 cm 12mm x Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC ( γ = 90°) kennt man mit p und q die Längen der beiden Hypotenusenabschnitte. Berechne 1) die Höhe h, 2) die Seitenlängen a, b, c, 3) den Flächeninhalt A des Dreiecks! a) p = 80mm, q = 45mm b) p = 4 cm, q = 4,41 cm c) p = 20,8m, q = 11,7m 5.44 I A a b c q p h D A B C h 2 q p p p . q h D A B C Ó 5.45 D O I Ó 5.46 D O I 5.47 O Ó Demo – 7ks4xu, Ó Übung – 4ej35r 135 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv