Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Aufgaben Erweiterung und Vertiefung In jedem rechtwinkeligen Dreieck mit den beiden Kathetenlängen a und b, der Hypotenusen- länge c, den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q und der Höhe h auf c gilt: p + q = c, h 2 + p 2 = a 2 und h 2 + q 2 = b 2 . Beweise mit Hilfe der Beziehungen 1) a 2 = c 2 – b 2 , 2) b 2 = c 2 – a 2 den Kathetensatz! Ein Bauer tauscht ein rechteckiges Feld mit einer Länge von 120m und einer Breite von 50m gegen ein flächeninhaltsgleiches quadratisches Feld. Die Länge seines neuen Feldes ermittelt er durch eine Zeichnung. Erkläre seine Konstruktion! Lösung: Der Bauer wählt c als Länge und p als Breite seines rechteckigen Feldes ABCD. Über der Strecke DC konstruiert er mithil- fe eines Thaleskreises das rechtwinkelige Dreieck DCE. Den Eckpunkt E erhält er da- bei als Schnittpunkt der Kreislinie mit ei- ner Normalen durch den Punkt F. Die Seitenlänge a des neuen quadrati- schen Feldes lässt sich durch Anwendung des Kathetensatz a 2 = c·p und Messen der Seitenlänge a ermitteln. Ein Rechteck mit der Länge a, der Breite b bzw. dem Flächeninhalt A ist zeichnerisch in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat zu verwandeln! Verwende den Kathetensatz und kontrolliere das Ergebnis durch eine Rechnung! a) a = 8 cm, b = 5 cm b) a = 14 cm, b = 9 cm c) A = 24 cm 2 d) A = 36 cm 2 Hinweis zu c) und d): Wähle für das Rechteck eine in Frage kommende Länge und Breite! Ein Dach soll neue Abschlussleisten x und y erhalten. Da- für werden auf dem Boden vor dem Haus die in der Abbil- dung angegebenen Längen gemessen. 1) Sind die in der Zeichnung angegebenen Größen für die Berechnung ausreichend? Was für ein praktischer Vorteil ergibt sich dadurch? Begründe! 2) Wie viel Meter benötigt man für die beiden Leisten min- destens? Berücksichtige auch den Überstand von je 30 cm! Vervollständige die Beschriftung und zeige anhand der Darstellung die Gültigkeit des Kathetensatzes a 2 = c·p bzw. b 2 = c·q! 5.39 O A 5.40 D I a 2 c p p a A B C D M F E Ó 5.41 O I 8m 30 cm 30 cm x y 4,5m 5.42 D O A A B C 5.43 A D Ó Demo – ww2f6q 134 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des V rlags öbv