Mathematik verstehen 4, Schulbuch

5.2 Der Kathetensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck ABC teilt die Höhe h auf die Hypotenuse c diese in zwei Abschnitte der Längen p und q. 1) Zeige mit Hilfe von Winkeln, dass die Dreiecke CDB, ADC und ABC einander ähnlich sind! 2) Nutze die Ähnlichkeit der Dreiecke CDB und ABC sowie der Dreiecke ADC und ABC für die Angabe sinnvoller Ver- hältnisgleichungen von Seitenlängen! Lösung: 1) Die Dreiecke CDB und ABC haben den Winkel ¼ DBC gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel, daher muss gelten: ¼ BCD = ¼ CAB. Die Dreiecke ADC und ABC haben den Winkel ¼ CAD gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel, daher muss gelten: ¼ DCA = ¼ ABC. Dreiecke sind einander ähnlich, wenn sie in den Winkelmaßen überein- stimmen. 2) Es gilt einerseits ap = ca und andererseits bq = cb. Diese Verhältnisgleichungen lassen sich als Bruchgleichungen anschreiben und sinnvoll um- formen: ​ a _ p ​= ​ c _ a ​ É a 2 = c·p bzw. ​ b _ q ​= ​ c _ b ​ É b 2 = c·q Kathetensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b , der Hypotenusen- länge c und den beiden Hypotenusenab- schnittslängen p und q (mit p + q = c) hat das Quadrat über einer Kathete stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypo­ tenusenabschnitt: a 2 = c·p bzw. b 2 = c·q Aufgaben Grundlagen Formuliere für das dargestellte rechtwinkelige Dreieck den Kathetensatz in beiden Formen! a) b) c) b a c q p s r t q p k g d x m Forme die in Aufgabe 5.32 gefundenen Gleichungen so um, dass jede Variable durch die an- deren ausgedrückt wird! 5.31 I A a b c q p h D A B C a a 2 b 2 a b c c . p q p h D A B C a b b c c . q p q h D A B C Ó 5.32 I D Ó 5.33 O Ó Demo – 7my3zt, Ó Übung – ph6m9u 132 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv