Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Gegeben ist die Strecke AB mit A = (‒3 1 1) und B = (2 1 4). Stelle die Aufgabe grafisch dar und berechne mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes die Länge der Strecke! Lösung: Ergänzt man die Strecke AB achsenparallel zu ei- nem rechtwinkeligen Dreieck AXB, so kann man die Längen der beiden Katheten ​ __ AX​= 5 und ​ __ XB​= 3 direkt aus der Zeichnung ablesen und die Länge der Strecke AB mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes berechnen: ​ __ AB ​ = ​ 9 _____ 5 2 + 3 2 ​= ​ 9 _____ 25 + 9 ​ = ​ 9 __ 34 ​ = 5,830… ≈ 5,8 Die Länge der Strecke AB beträgt rund 5,8 Längeneinheiten. Gegeben sind Anfangspunkt und Endpunkt einer Strecke. Stelle die Aufgabe grafisch dar und berechne mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes die Länge der Strecke! a) P = (1 1 2), Q = (4 1 5) b) A = (0 1 1), B = (4 1 ‒3) c) S = (‒3 1 ‒2), T = (‒1 1 4) d) Y = (‒1 1 ‒2), Z = (5 1 4) Gib für alle rechtwinkeligen Dreiecke in der Abbildung den pythagoräischen Lehrsatz an! a) a b q p c h b) t u v s p x y z r Vervollständige zu richtigen Aussagen! Verwende dafür die Darstellungen von Aufgabe 5.21! a) 1) a 2 = c 2 – 2) b = ​ 9 ______ + q 2 ​ 3) p 2 + = a 2 4) q + = c 5) A = ​ a·b ____ ​= ​ c· _____ 2 ​= ​ p·h ___ 2 ​+ 6) (c – p) 2 = b 2 – 7) h = ​ 9 ________ a 2 – ​ b) 1) s 2 = – t 2 2) v = ​ 9 ________ t 2 – ​ 3) t = ​ 9 ________ + z 2 ​ 4) A = ​ (r + )· ____________ 2 ​ 5) u = ​ 9 _______ t 2 + ​– 6) x 2 = – u 2 7) t 2 – y 2 = Besteht zwischen drei ganzen Zahlen a, b, c der Zusammenhang a 2 + b 2 = c 2 , so spricht man von einem pythagoräischen Zahlentripel. Mithilfe der Gleichungen a = x 2 – y 2 , b = 2 x y, c = x 2 + y 2 erhält man für zwei Zahlen x, y * N mit x > y ein solches Zahlentripel. Ermittle das zu x, y gehörige Zahlentripel und überprüfe dein Ergebnis mithilfe des pythagoräischen Lehr- satzes! Begründe, dass x > y vorausgesetzt werden muss! a) x = 3, y = 2 b) x = 5, y = 3 c) x = 2, y = 1 d) x = 6, y = 4 Sophies kleiner Bruder Felix hat ein neues Bett mit Rutsche bekommen (siehe Abbildung). Wie lang braucht Felix bei einer Geschwindigkeit von 0,5m/s zum Hinunterrutschen? 5.19 D O I 1 2 3 4 1 -1 -2 -3 O 2. Achse 1. Achse 2 3 A 5 3 B X 5.20 D O I A Ó 5.21 I D 5.22 I D A 5.23 O I A Ó 2m 1,5m 5.24 O 130 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv