Mathematik verstehen 4, Schulbuch

4.7 Funktionen als Modelle betrachten Zur Bevölkerungsentwicklung der Stadt Wolkersdorf vom 1. Jänner 2006 bis zum 1. Jänner 2014 liegt die folgende Tabelle vor (www.statistik.at ): Jahr 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Einwohner- zahl 6481 6525 6626 6660 6659 6753 6733 6835 6936 1) Welchen Trend kann man den Daten entnehmen? 2) Stelle die Daten durch Punkte in einem Koordinatensystem dar, in welchem jedem Zeit- punkt t (in Jahren) die jeweilige Einwohnerzahl zugeordnet wird! 3) Verbinde den ersten und den letzten Punkt des Diagramms zu einer Geraden! 4) Ist es sinnvoll, diese Zuordnung durch eine lineare Funktion darzustellen? Begründe die Antwort! Lösung: 1) Obwohl die Einwohnerzahl zweimal ganz leicht rückläufig ist, kann man auf längere Sicht von einem Anstieg der Bevölkerungszahl sprechen. 2) 6400 6600 6800 6500 6 700 6900 7 000 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Einwohnerzahl Zeit (in Jahren) 3) 6400 6600 6800 6500 6 700 6900 7 000 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Einwohnerzahl Zeit (in Jahren) 4) Obwohl einige Punkte von der Geraden abweichen, ist es durchaus sinnvoll, da mit einer linearen Funktion der Trend der Bevölkerungsentwicklung sehr einfach und übersichtlich modelliert werden kann. Die Beschreibung eines Sachverhalts mit mathematischen Mitteln nennt man mathemati- sches Modellieren, als Ergebnis liegt daraufhin ein mathematisches Modell vor. Wie genau dies geschehen soll, hängt stets vom Sinn und Zweck ab. In Aufgabe 4.80 soll die Bevölkerungsentwicklung über mehrere Jahre hinweg möglichst ein- fach veranschaulicht werden. Diesen Zweck erfüllt der Graph einer linearen Funktion gewiss, jedenfalls für einen bestimmten Ausschnitt. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung 2015 hat die Erdbevölkerung ca. 7,3 Mrd. Menschen be- tragen und sie wächst weiter. Bei einem Zukunftsmodell A verdoppelt sie sich alle 60 Jahre, bei einem anderen Modell B alle 35 Jahre. 1) Gib die Anzahl der Menschen auf der Erde nach 420 Jahren für Modell A und für Modell B an! 2) Für wie realistisch hältst du die Ergebnisse? Begründe die Antwort! 4.80 I A D A 4.81 I D 120 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv