Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Lineare Kostenfunktionen und Zeit-Ort-Funktionen Produziert man Waren, dann gibt es meist Kosten, die von der produzierten Menge unabhän- gig sind. Diese nennt man oft Fixkosten oder fixe Kosten , zB Miete usw. Kosten, die direkt mit der Anzahl der produzierten Stück oder Mengeneinheiten (ME) im Zusammenhang stehen, werden oft als variable Kosten bezeichnet, zB Materialkosten usw. Von einer linearen Kosten- funktion spricht man dann, wenn sich die Gesamtkosten bei der Produktion von x ME durch die Termdarstellung K (x) = k·x + d ausdrücken lassen. d = K (0) entspricht den Fixkosten und k gibt den Kostenzuwachs pro produzierter ME an. Bei Bewegungsaufgaben der Form s (t) = k·t + d gibt k die Wegzunahme pro Zeiteinheit, dh. die Geschwindigkeit, an, d = s (0) den Ort (die Entfernung vom Ausgangspunkt) zum Zeit- punkt 0. Man spricht von linearen Zeit-Ort-Funktionen . Aufgaben Erweiterung und Vertiefung In der Abbildung ist der Graph einer Kostenfunktion K bei der Produktion von x Stück einer Ware dargestellt. Entnimm dem Graphen die fixen Kosten und die variablen Stückkosten in €. Gib eine Termdarstellung für die Gesamtkosten bei einer Produktion von x Stück an! a) 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000 220000 50 O Kosten in € Menge x in Stück 100 150 200 250 K b) 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2000 50 O Kosten in € Menge x in Stück 100 150 200 250 K Die Kosten für die Erzeugung einer Ware können durch eine lineare Kostenfunktion K be- schrieben werden. Dabei kostet die Erzeugung von a) 200 ME 1 500€ und die Erzeugung von 300 ME 2000€, b) 50 ME 10000€ und die Erzeugung von 100 ME 20000€. Erstelle einen Graphen der Kostenfunktion K! Ermittle rechnerisch oder mit Hilfe des Graphen die Fixkosten sowie die variablen Kosten und gib eine Termdarstellung der Kostenfunktion K an! Zum Zeitpunkt t = 0 ist ein Motorrad 30 km vom Ort X entfernt. Es bewegt sich in der ein- geschlagenen Richtung gleichförmig vom Ort X weiter weg. Es ist s (t) die Entfernung des Motorrads vom Ort X. In 30 Sekunden legt es eine Strecke von 1 000m zurück. 1) Welche der dargestellten Zeit-Ort-Funktionen (in A, B oder C) passt zu dieser Situation? 2) Gib an, wann das Motorrad 70 km vom Ort X entfernt sein wird! 3) Ermittle, wie weit das Motorrad nach einer halben Stunde von X entfernt ist! A 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 2 O s(t) in km Zeit t in min 4 6 8 10 12 14 16 B 20 40 60 80 100 120 140 160 2 O s(t) in m Zeit t in s 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 C 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 1 O s(t) in km Zeit t in h 2 3 4.61 I 4.62 D 4.63 I 113 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv