Mathematik verstehen 4, Schulbuch

Allgemeine lineare Funktionen In einer Fritteuse befinden sich bereits 1,5 Liter Speiseöl. Eine Maschine füllt in diesen Behälter pro Minute gleich- mäßig 0,4 Liter Speiseöl hinzu. Es sei t die Zeit in Minuten und V (t) das bereits vorhandene Speiseölvolumen zum Zeitpunkt t. 1) Stelle diese Zuordnung in einer Tabelle und durch den Graphen der Funktion V in einem Koordinatensystem dar! 2) Gib eine Termdarstellung der Funktion V an! 3) Wie viel Liter Speiseöl sind nach sieben Minuten in der Fritteuse? 4) Nach wie vielen Minuten sind 5,5 Liter Speiseöl in der Fritteuse? Lösung: 1) Tabelle: Koordinatensystem: t V (t) 0 1,5 1 1,9 2 2,3 3 2,7 1 2 3 4 5 6 7 1 O V(t) t 2 3 4 6 7 8 9 10 5 V 2) V (t) = 0,4·t + 1,5 3) V (7) = 0,4·7 + 1,5 = 4,3 Nach sieben Minuten sind 4,3 Liter Speiseöl in der Fritteuse. (Kontrolliere am Graphen der Funktion V, ob V (7) = 4,3!) 4) V (t) = 5,5, das bedeutet: 5,5 = 0,4·t + 1,5 w 4 = 0,4·t w t = 10 Nach zehn Minuten sind 5,5 Liter Speiseöl in der Fritteuse. (Kontrolliere am Graphen der Funktion V, ob V (10) = 5,5!) Die Funktion V in Aufgabe 4.40 ist keine direkte Proportionalitätsfunktion, da V (0) ≠ 0 . Ist f eine reelle Funktion mit f (x) = k·x + d , so nennt man f eine allgemeine lineare Funktion . Dabei ist k die Steigung der Funktion (Geraden) und d der Funktionswert an der Stelle 0 . Die Zahl k ist ein Maß dafür, wie stark der Graph steigt bzw. fällt. Ist k > 0, so steigt die Gerade, ist k < 0, fällt die Gerade. Ist k = 0, so ist der Funktionsgraph parallel zur 1. Achse und man spricht von einer konstanten Funktion . Der Graph der Funktion V in Aufgabe 4.40 ist eine Gerade, die nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, da V (0) = 1,5. Der Graph einer allgemeinen linearen Funktion f ist stets eine Gerade mit f (0) = d . Bemerkung: In der Funktionenlehre werden lediglich direkte Proportionalitätsfunktionen als lineare Funktionen bezeichnet. Eine Funktion f mit f (x) = k·x + d trägt den Namen affin-lineare Funktion. Dies bedeutet, dass der Graph von f eine um die Konstante d „verschobene“ Funktion einer linearen Funktion vom Typ f (x) = k·x ist. In diesem Buch bleiben wir aber der Einfachheit halber bei der Bezeichnung lineare Funktion für Funktionen f mit f (x) = k·x + d. O 4.40 D 107 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv