Mathematik verstehen 3, Schulbuch

3.6 MERKwürdiges: Die Quadratzahlen und das Gnomon 83 Die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, … werden gern als Quadrate dargestellt, deren jeweiliger Flächeninhalt die Quadratzahl der Seitenlänge ist. Werden diese Quadrate nebeneinander gezeich- net, entsteht eine stufenförmige Darstellung. Der Unterschied von einer Quadratfläche zur nächsten ist eine L-förmige Fläche, ein sogenanntes Gnomon . In der symmetrischen Gestalt dieses Ls wird der Begriff der ungeraden Zahl als das Doppelte einer Zahl plus 1 (also 2·n + 1) anschaulich dargestellt. 1 2 1 2  + 3 = 2 2 2 2  + 5 = 3 2 3 2  + 7 = 4 2 4 2  + 9 = 5 2 5 2  + 11 = 6 2 … Man kann erkennen, welches Prinzip diesem Zuwachs zugrunde liegt: Quadratzahlen: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Gnomon-Zahlen (Zuwachs): 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Zuwachs des Zuwachses: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Die n-te Quadratzahl ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen: 1. Quadratzahl: 1 = 1 2 2. Quadratzahl: 1 + 3  = 4 = 2 2 3. Quadratzahl: 1 + 3 + 5  = 9 = 3 2 4. Quadratzahl: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2 5. Quadratzahl: 1 + 3 + 5 + 7 +  9  = 25 = 5 2 6. Quadratzahl: 1 + 3 + 5 + 7 +  9 +  11  = 36 = 6 2 … Betrachtet man die Quadratzahlen der Reihe nach, lässt sich erkennen, dass gerade und ungerade Zahlen einander abwechseln: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … Daraus lässt sich ablesen, dass das Quadrat einer geraden Zahl gerade ist. Bezeichnet man eine ge- rade Zahl mit ( 2 · n ), so ist deren Quadratzahl (2·n) 2  = 2 2 ·n 2  =  2 · (2·n 2 ) , also wieder eine gerade Zahl. Ebenso ist zu erkennen: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ( 2 · n +  1 ) ist ungerade. (2·n + 1) 2  = 2 2 ·n 2  + 2·2·n + 1 = 2·(2·n 2  + 2·n) + 1 =  2 · [2·(n 2  + n)] +  1 (siehe Seite 104) 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 2 3 4 5 6 Gnomon 2 . 5 + 1 = 11 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv