Mathematik verstehen 3, Schulbuch

3.4 Die Quadratwurzel einer Zahl Eine Umkehrung des Quadrierens Der Flächeninhalt A eines Quadrats ist 64 cm 2 . Wie lang ist eine Seite x dieses Quadrats? Lösung: Für den Flächeninhalt A eines Quadrats gilt: A = x·x oder A = x 2 Der Flächeninhalt A ist mit 64 cm 2 gegeben, also 64 = x 2 . Es wird nach jener Zahl x gesucht, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt. Die Zahl x muss positiv sein. Durch Probieren kann man schnell x = 8 ermitteln. Die Seite x des Quadrats ist 8 cm lang, da 8·8 = 8 2  = 64. In der vorigen Aufgabe war es recht einfach, die Seitenlänge des Quadrats zu ermitteln. Ist der Flächeninhalt eines Quadrat jedoch zB 32,49 cm 2 , so wird die Suche nach der richtigen Seitenlänge etwas aufwändiger. Abschätzen kann man die Seitenlänge x für A = x 2  = 32,49 re- lativ rasch: 25 < A < 36, also 5 2  < A < 6 2 ; daraus folgt: 5 2  < x 2  < 6 2 und daher 5 < x < 6. Der genaue Wert für x lässt sich mit der Taste 9 auf dem Taschenrechner ermitteln. Ist eine Zahl a º 0, so nennt man jene nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel (oder Wurzel ) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit √a . √a = b gilt genau dann, wenn ​ b​  2 ​= a (a, b º 0). Beispiele: √4 = 2, da 2 2  = 4 √9 = 3, da 3 2  = 9 ​ 9 __ 64​= 8, da 8 2  = 64 Ermittelt man die (Quadrat-)Wurzel einer Zahl, so nennt man diesen Vorgang Radizieren oder einfach (Quadrat-)Wurzelziehen . Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist der Radikand . Bemerkung: Es stimmt, dass zB 2 2  = 4, aber auch (‒2) 2  = 4. Da √4 aber eine eindeutige Zahl ist, bezeichnet man nur die nichtnegative Basis 2 mit √4. Es gilt sowohl √4·√4 = (√4) 2  = 4 als auch ​ 9 ___ 4·4​= ​ 9 __ 4 2 ​= 4 Aufgaben Grundlagen Ergänze die fehlende Zahl! a) ​ 9 __ 25​= 5, da 5 2  =   . d)  = 9, da 9 2  = 81. b)  = 7, da 7 2  = 49. e) ​ 9 __ 16​= 4, da  = 16. c) ​ 9 __ 36​=  , da 6 2  = 36. f)  = b, da b 2  = a. Berechne im Kopf! a) ​ 9 ___ 100​ b) ​ 9 __ 64​ c) ​ 9 ___ 121​ d) ​ 9 ___ 225​ e) ​ 9 ___ 400​ f) ​ 9 ____ 2500​ g) ​ 9 _____ 10000​ 3.74  O 3.75  O 3.76  O 79 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv