Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Schreibe die Zahlen in einer Größer-Kette an! a) 2,5609; ‒2,650; ‒2,6590; ‒2,9056; 2,056 9; 2,059 6; ‒2,9650; 2,509 6; ‒2,8901 b) 0,254; ‒0,543; ‒0,352; ‒0,523; 0,243; 0,423; ‒0,254; 2,540; ‒0,020500 Es seien a und b rationale Zahlen. Es gilt a < b < 0. Welche Aussagen kannst du über die Größenbeziehung der Gegenzahlen von a und b treffen? Begründe die Antwort! Rationale Zahlen anordnen Fragt man etwa nach dem Nachfolger der Zahl   3 _ 8 , kann dieser leider nicht genannt werden, denn zu zwei verschiedenen rationalen Zahlen kann stets eine weitere gefunden werden, die zwischen diesen beiden Zahlen liegt. Somit liegen zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen. Es gibt jedoch ein Schema, das von dem deutschen Mathematiker Georg CANTOR (1845 – 1918) entwickelt worden ist, welches nacheinander jede rationale Zahl erfasst: … ‒   1 _ 4 ‒   1 _ 3 ‒   1 _ 2 ‒   1 _ 1 0   1 _ 1   1 _ 2   1 _ 3   1 _ 4 … … ‒   2 _ 4 ‒   2 _ 3 ‒   2 _ 2 ‒   2 _ 1   2 _ 1   2 _ 2   2 _ 3   2 _ 4 … … ‒   3 _ 4 ‒   3 _ 3 ‒   3 _ 2 ‒   3 _ 1    3 _ 1   3 _ 2   3 _ 3   3 _ 4 … … ‒   4 _ 3 ‒   4 _ 2 ‒   4 _ 1   4 _ 1   4 _ 2   4 _ 3 … … ‒   5 _ 1   5 _ 1 … Die erste Zeile nennt neben der Zahl 0 alle rationalen Zahlen mit dem Zähler 1, die zweite Zeile alle mit dem Zähler 2 usw. Die Nenner durchlaufen in jeder Zeile die Menge der ganzen Zahlen (außer 0). Kürzt man nun jeden Bruch und streicht danach alle Wiederholungen, so kann eine vollständige Aufzählung der rationalen Zahlen erfolgen. Obwohl zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen, könnte auf diese Art jede Zahl der Menge Q erfasst werden. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Schreibt eine Zahl auf, die größer als ‒2, aber kleiner als 0 ist, und nennt sie a 1 ! Notiert nun ei- ne Zahl, die größer als ‒2, aber kleiner als a 1 ist! Nennt diese Zahl a 2 ! Wählt nun eine beliebige Zahl zwischen ‒2 und a 2 und nennt sie a 3 usw.! Diskutiert darüber, wie lang ihr braucht um dieses Vorgehen zu einem Ende zu bringen und wie viele Zahlen sich auf diese Art und Weise finden lassen! Notiert eure Gedanken und zieht Schlussfolgerungen daraus! Was ändert sich, wenn ihr zu Beginn beliebige andere ganze Zahlen wählt? In welchen Fällen ist eine rationale Zahl größer als ihre Gegenzahl? Wann ist sie kleiner als ihre Gegenzahl? Erkläre mit Worten und unter Verwendung der Sprache der Mathematik! Demonstriere die Antwort anhand von selbstgewählten Beispielen! 2.32 D 2.33 I A 2.34 O A C 2.35 D I 50 I1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv