Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Lösungen 7 Figuren vergrößern und verkleinern 7.87 Kongruente Figuren stimmen in allen Seiten- längen und Winkelmaßen überein, sie haben die gleiche Gestalt und die gleiche Größe. Bei ähnlichen Figuren sind einander entspre- chende Seitenlängen zueinander propor- tional, einander entsprechende Winkelmaße sind gleich. Ähnliche Figuren haben gleiche Gestalt aber unterschiedliche Größe. Kongru- enz ist ein Sonderfall der Ähnlichkeit. 7.88 Dreiecke sind einander ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen entsprechender Seiten- längen übereinstimmen oder in zwei Winkel- maßen oder in den Verhältnissen je zweier Seitenlängen und dem Maß des eingeschlos- senen Winkels oder in den Verhältnissen zweier Seitenlängen und dem Maß des der längeren Seite gegenüberliegenden Winkels. 7.89 Vielecke sind einander ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen entsprechender Seiten- längen und in den einander entsprechenden Winkelmaßen übereinstimmen. 7.90 Als Division oder als Bruch; zB 32 =   3 _ 2 oder 17 =   1 _ 7 7.91 Eine Proportion ist eine Verhältnisgleichung, dh. eine Verbindung zweier Verhältnisse durch ein Gleichheitszeichen. 7.92 Soll man eine zur Strecke AB ähnliche Strecke A´B´ zeichnen, so gibt der Faktor k an, mit welcher Zahl man die Länge der Strecke AB multiplizieren muss, um die Länge der Strecke A´B´ zu erhalten. Ist a) k > 1, so wird die Strecke vergrößert, b) k = 1, so bleibt die Länge der Strecke gleich, c) 0 < k < 1, so wird die Strecke verkleinert. 7.93 Durch eine zentrische Streckung entstehen ähnliche Figuren, bei denen Original- und Bildpunkte auf einer Geraden durch ein Streckungszentrum Z liegen. 7.94 a) erster Strahlensatz: ___ SA  1  ___ SA  2 =  ___ SB  1  ___ SB  2 =  ___ SC  1  ___ SC  2 und ___ SA  1  ___ A  1 A  2 =  ___ SB  1  ____ B  1 B  2 =  ___ SC  1  ___ C  1 C  2 b) zweiter Strahlensatz: ___ SA  1  ___ SA  2 =  ___ A  1 B  1  ____ A  2 B  2 =  ___ SB  1  ___ SB  2 =  = ___ B  1 C  1  ____ B  2 C  2 =  ___ SC  1  ___ SC  2 =  ___ A  1 C  1  ____ A  2 C  2 c) dritter Strahlensatz: ___ A  1 B  1  ___ B  1 C  1 =  ____ A  2 B  2  ____ B  2 C  2 und ___ A  1 C  1  ___ B  1 C  1 =  =  ____ A  2 C  2  ____ B  2 C  2 und ___ A  1 B  1  ___ A  1 C  1 =  ____ A  2 B  2  ____ A  2 C  2 7.95 ab = 45 und ba = 108 7.96 a) 13 = x12 w 1·12 = 3·x w x = 4. Es müs- sen 4 ® Konzentrat mit 12 ® Wasser gemischt werden. b) Man erhält 16 ® trinkfertigen Saft. 7.97 ähnl. kongr. ähnl. keines 7.98 zB c5 = 156 w c·6 = 5·15 w c = 12,5cm 7.99 zB Dreieck 1: 3cm, 4cm, 5cm; Dreieck 2: 6cm, 8cm, 10cm; Dreieck 3: a = 1,5cm, b = 2cm, c = 2,5cm (1) Die Dreiecke haben die gleiche Gestalt, sind aber unterschiedlich groß. (2) Einander entsprechende Winkelmaße sind in allen drei Dreiecken gleich und einan- der entsprechende Seitenlängen sind zuein- ander proportional. 7.100 1) Dreieck ADF ~ Dreieck ABC ~ Dreieck FEC 2) __ BC __ AB=  __ CE __ FE __ CF __ AC=  __ CE __ BC __ AD __ EF=  __ DF __ CE 3) __ CE= 12m 7.101 Hierbei handelt es sich um eine zentrische Streckung, mit der Beamerlampe als Streckungszentrum. 8 Der pythagoräische Lehrsatz 8.64 1) a·a = a 2 2) b·b = b 2 3) c·c = c 2 8.65 g 2  + t 2  = v 2 8.66 Die Summe der beiden Kathetenlängen quadrate entspricht dem Hypotenusenlän- genquadrat. 8.67 Es muss sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handeln. 8.68 Es müssen entweder beide Kathetenlängen oder eine Kathetenlänge und die Hypote- nusenlänge gegeben sein, damit die dritte Seitenlänge berechnet werden kann. 8.69 Subtrahiert man vom Quadrat der Hypote- nusenlänge das Quadrat der gegebenen Kathetenlänge, erhält man das Quadrat der gesuchten Kathetenlänge. Daher zieht man die Quadratwurzel aus dem Quadrat der gesuchten Kathetenlänge und erhält so die gesuchte Kathetenlänge. 8.70 Sei w die waagrechte Länge der Rampe und s die senkrechte Länge, dh. die Höhen- differenz: Da x% von w = s und daher   x ___  100 ·w = s, ist   x ___  100 =   s __  w . Kennt man die Länge der Fahrfläche und eine der beiden Kathe- tenlängen, muss die andere Kathetenlänge mit dem pythagoräischen Lehrsatz berech- net werden, dann gilt ebenso:   x ___  100 =   s __  w 8.71 h 2  + p 2  = a 2 , h 2  + q 2  = b 2 , a 2  + b 2  = (p + q) 2 8.72 Da 3 2  + 4 2  = 5 2 , liegt dann ein rechter Winkel vor, wenn der Abstand zwischen den beiden Markierungen genau 5m beträgt. 8.73 x = 73m 8.74 8.75 Hinweis zur Berechnung: Breite = 16·k, Höhe = 9·k, dh.: (16·k) 2  + (9·k) 2  = 80 2 . Breite ≈ 69,7cm, Höhe ≈ 39,2cm 8.76 c A B C a b 8.77 8.78 ZB: Wie lang muss der schräge Holzbalken sein, wenn die äußerste rechte Holzlatte x Meter lang und der gesamte Zubau y Meter breit ist? 8.79 Der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete AC misst 16 quadratische Kästchen, über der Kathete BC sind es 25 quadratische Kästchen. Das Quadrat unter der Hypotenuse misst einen Flächeninhalt von 36 quadrati- schen Kästchen. Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinkelig, da 16 + 25 ≠ 36. 9 Flächeninhalte ebener Figuren 9.136 Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b hat den Flächeninhalt A = a·b. Durch Ein- zeichnen einer Diagonalen erhält man zwei rechtwinkelige Dreiecke mit den Katheten- längen a und b, deren Flächeninhalt jeweils die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks ist. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt daher: A =   a·b ___ 2  . 9.137 Jedes Dreieck mit der Seitenlänge b und der zugehörigen Höhe h b kann zu einem Recht- eck mit den Seitenlängen b und h b ergänzt werden, dessen Flächeninhalt doppelt so groß wie der des Dreiecks ist. Für den Flächeninhalt A R des Rechtecks gilt: A R  = b·h b . Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt daher: A =   b·h  b ___ 2  . 9.138 Jedes Parallelogramm mit den Maßen a und h a und dem Flächeninhalt A = a·h a wird durch Einzeichnen einer Diagonalen in zwei allgemeine Dreiecke mit den Maßen a und h a zerlegt, deren Flächeninhalte jeweils die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelo- gramms sind. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt daher: A =   a·h  a ___ 2  . 9.139 Die Diagonalen müssen im rechten Winkel zueinander stehen. Die Flächeninhaltsformel A =   e·f __ 2  gilt für den Rhombus, für das Deltoid und für das Quadrat. 9.140 Das Trapez ABCD mit den Maßen a, c und h wird „auf den Kopf gestellt“ und an das ur- sprüngliche Trapez angefügt. Man erhält das Parallelogramm AD’A’D mit den Maßen (a + c) und h und dem Flächeninhalt A = (a + c)·h. Dieses Parallelogramm ist doppelt so groß wie das ursprüngliche Trapez. Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt daher: A =   “ a + c  § ·h _____ 2  . A A’ D D’ a + c h B = C’ C = B’ 9.141 1) durch Zerlegen der Fläche in Dreiecke und besondere Vierecke: Der gesuchte Flächen inhalt ist die Summe der Inhalte aller Teil flächen. 2) durch Umschreiben eines Rechtecks: Vom Flächeninhalt des Rechtecks werden die Flä- cheninhalte all jener geometrischen Figuren subtrahiert, die nicht Teil des gesuchten Flä- cheninhalts sind. 9.142 a) A =   e·h ___ 2  c) A =   a·h ___ 2  e) A = v·h b) A = k·h d) A =   c·h ___ 2  f) A =   “ x + z  § ·h _____ 2  9.143 a = 8cm, b = 5cm, c = 6,25cm 9.144 9.145 1) A = 36cm 2 2) f = 10cm 9.146 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann mit der Formel A = a·h a berechnet werden. Alle drei Parallelogramme haben die Seitenlänge a = 2cm und dieselbe Höhe h. Daher haben sie auch denselben Flächen inhalt. 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv