Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Lösungen 3.102 Potenzen mit gleicher Basis werden multi- pliziert (dividiert), indem man die Basis mit der Summe (Differenz) der Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweils natürliche Zahlen (außer 0) sein. Bei der Division muss zusätzlich gelten, dass die Basis nicht null sein darf, weiters muss der Exponent der Potenz im Zähler größer sein als der Exponent der Potenz im Nenner. 3.103 Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man das Pro- dukt (den Quotienten) der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Die Exponenten müssen jeweils natürliche Zah- len (außer 0) sein. Bei der Division muss zu- sätzlich gelten, dass die Basis der Potenz im Nenner nicht null sein darf. 3.104 Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert, wobei die Exponenten natürliche Zahlen (außer 0) sein müssen. 3.105 Die Vorrangregeln müssen folgendermaßen erweitert werden: – Was in Klammern steht, muss zuerst be- rechnet werden. – Das Potenzieren wird vor Punktrechnungen ausgeführt. – Punktrechnungen werden vor Strichrech- nungen ausgeführt. – Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. 3.106 Einen Ausdruck der Form 10 n nennt man Zehnerpotenz. Ihre häufigste Anwendung findet sie in den Naturwissenschaften bei Zahlen, die außerhalb unserer Vorstellungen liegen. 3.107 Eine Zahl der Form m·10 n ist in Gleitkom- madarstellung angegeben. Die Zahl m (1 ª m < 10) nennt man Mantisse, die Zahl n ist der Exponent zur Basis 10. 3.108 Das Komma bei der Festkommadarstellung „gleitet“ um so viele Stellen nach links, dass für die Mantisse m Folgendes gelten kann: 1 ª m < 10. 3.109 Ist eine Zahl a º 0, so nennt man jene nicht- negative Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel (oder Wurzel) aus a. Man bezeichnet diese Zahl mit √a. √a = b gilt genau dann, wenn b 2  = a (a, b º 0) 3.110 Wurzeln werden multipliziert (dividiert), indem man die Wurzel aus dem Produkt (dem Quotienten) der Radikanden zieht. Die Radikanden müssen jeweils größer oder gleich null sein. 3.111 a) 2 7 ·3 4 b) 2 3 ·5 2 ·7 3 c) (‒4) 3 · “    1 __  10   §   5 d) 1,87 2 ·(‒5) 2 ·6 4 3.112 32 = 2 5 27 = 3 3 0,16 = 0,4 2 10 = 10 1   8 ___  125 =  “    2 _ 5   §   3 3.113 25 =  5  2 256 =  4  4 0,027 =  0,3  3   1 __  81 =   “    1 _ 3   §   4   5 _ 7 =   “    5 _ 7   §   1 3.114 a) 132 b) 243,01 3.115   9  15 __  9  8 =   9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9·9 ____________________  9·9·9·9·9·9·9·9  = 9 7 oder   9  15 __  9  8 = 9 15‒8  = 9 7 3.116 a = 5,9cm 3.117 eine Billion tau- send eine Trillion eine Billiarde eine Million eine Milliarde 10 6 10 9 10 15 10 3 10 18 10 12 3.118 3.119 n = 3 3.120 1) 1,096·10 18 J 2) ca. 1,104·10 18 J 3.121 a  m ·a  n = a·a·a·…·a·a·a·a·…·a = a  m+n m Faktoren n Faktoren (m + n) Faktoren 4 Mit Termen und Formeln arbeiten 4.208 Eine Variable ist eine unbestimmte Zahl. Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Aus- druck. Eine Gleichung stellt einen Zusam- menhang zwischen Termen dar, die durch ein Gleichheitszeichen voneinander getrennt sind. Eine Formel ist eine allgemeingültige Gleichung. 4.209 Monome sind eingliedrige Terme, in denen keine Summen oder Differenzen vorkommen, zB: 3a; 0,5b; (‒3)x. 4.210 Bei Polynomen werden eingliedrige Terme durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbunden, zB: 2a + 4b; x 2  + 2x – 1; y + 1. 4.211 Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addi- tion, Klammerauflösungsregeln 4.212 1) Für die Multiplikation eingliedriger Terme gelten das Kommutativgesetz und das Asso- ziativgesetz der Multiplikation. Einzelne Fak- toren können untereinander vertauscht und zu Teilprodukten zusammengefasst werden. 2) Ein eingliedriger Term wird mit einem mehrgliedrigen Term multipliziert, indem man unter Berücksichtigung der Vorzeichen den eingliedrigen Term mit jedem Summan- den (Glied) des mehrgliedrigen Terms multi- pliziert. Dieser Vorgang des „Ausmultiplizierens“ beruht auf den Distributivgesetzen. 4.213 a b c d a . c b . c a . d b . d (a + b)·(c + d) = a·c + b·c + a·d + b·d 4.214 (A + B) 2  = A 2  + 2AB + B 2 ; (A – B) 2  = A 2  – 2AB + B 2 ; (A + B)·(A – B) = A 2  – B 2 4.215 Ein Bruchterm ist ein Term, bei dem die Variable im Nenner steht.   x + 2 ___ 3  ist kein Bruch- term, da keine Variable im Nenner steht. 4.216 A + B = C É A = C – B A – B = C É A = C + B A·B = C É A =   C __ B (B ≠ 0)   A __ B = C É A = C·B (B ≠ 0) 4.217 Elementarumformungen und das Anwenden von Rechengesetzen, die gleichwertige Aus- sageformen (Gleichungen) ineinander über- führen, nennt man Äquivalenzumformungen. 4.218 4.219 a) 6x – 4y c) 7r – 6s + 16t + 3 b) 7a + 2b d) ‒2p 2  + 10p 2 q + pq 2 – 8q 2 4.220 a) (5c – 3d) 2  = 25c 2  – 30cd + 9d 2 b) (p + 4q) 2  = p 2  + 8pq + 16q 2 c) (2s – 6t) 2  = 4s 2  – 24st + 36t 2 d) (3x + 8y)·(3x – 8y) = 9x 2  – 64y 2 4.221 4.222 h = 5 4.223 (x – 2)·[3(y + 3) – (x + 2) + (y + 6)] = … = = (x – 2)·(‒x + 4y + 13) 4.224 a) m =   2E ______  v 2  + 2gh b) v =  9 _______   2E ‒ 2mgh _______ m  4.225 Werden vom Flächeninhalt a 2 die Flächen inhalte a·b und noch einmal a·b abgezogen, muss b 2 hinzugefügt werden, damit der Flächeninhalt (a – b) 2 entsteht. 4.226 1. Fehler: Statt ‒30uv muss ‒60uv stehen, 2. Fehler: Statt ‒25v 2 muss +25v 2 stehen, also: (6u – 5v) 2  = 36u 2  – 60uv + 25v 2 4.227 A: Gesamttreibstoffverbrauch auf der Fahrt B: Gesamtkosten des Diesels für die Fahrt 5 Lineare Wachstums- und Abnahme- modelle 5.66 Lineares Wachsen bedeutet: Gleiche Zunah- me der einen Größe bewirkt stets gleiche Zunahme der anderen Größe. Schüttet man etwa Milch gleichmäßig in einen Behälter, so bewirkt eine gleichmäßige Zunahme der Zeit eine gleichmäßige Zunahme der Milchmenge im Behälter. 5.67 Lineares Abnehmen bedeutet: Gleiche Zu- nahme der einen Größe bewirkt stets gleiche Abnahme der anderen Größe. Brennt etwa eine „Wunderkerze“ gleichmäßig ab, so be- wirkt eine gleichmäßige Zunahme der Zeit eine gleichmäßige Abnahme der noch brenn- baren Länge der Kerze. 5.68 Direkt proportionale Größen wachsen stets linear. Lineares Wachsen ist dann direkt proportional, wenn die eine Größe 0 ist und auch die andere zugeordnete Größe 0 ist. 5.69 Der benötigten Zeit t wird die vom Aus- gangsort zurückgelegte Entfernung s zuge- ordnet. Dabei ist k die Geschwindigkeit und d die Entfernung (der Ort) vom Ausgangspunkt zum Startzeitpunkt (t = 0). 5.70 Das lineare Kostenmodell gilt für die Gesamt- kosten G und die Menge x. Dabei sind k die variablen Kosten (der Kostenzuwachs pro Einheit) und d die Fixkosten. 5.71 Das lineare Gebührenmodell gilt für die Ge- samtgebühr G und die Menge x. Dabei ist k die Gebühr (der Gebührenzuwachs) pro Ein- heit und d die Grundgebühr. 5.72 Wird ein Kapital K zum jährlichen Zinssatz p% verzinst, dann betragen die Zinsen Z nach einem Jahr Z = K·  p ___  100  . Man berechnet also p Prozent von K. 5.73 Bei Geldeinlagen auf der Bank muss ein Teil des Zinsertrags als Kapitalertragssteuer (KESt) an das Finanzamt abgeliefert werden. Diese Steuer beträgt derzeit ein Viertel der Zinsen (Stand 2015). 5.74 1) Man berechnet die Jahreszinsen mit dem effektiven Zinssatz p eff %, dividiert diesen Be- trag durch 12 und multipliziert dies mit m. 2) Man berechnet die Jahreszinsen mit dem effektiven Zinssatz p eff %, dividiert diesen Be- trag durch 360 und multipliziert dies mit d. 277 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv