Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Lösungen 1 Ganze Zahlen 1.115 Ein Pluszeichen vor einer Zahl kann die Tem- peratur in Grad über null angeben, die Höhe in Meter über dem Meeresspiegel, die Länge in Dezimeter nach einem Absprungbalken, den Guthabenstand in Euro auf dem Konto etc. Ein Minuszeichen vor einer Zahl kann die Temperatur in Grad unter null angeben, die Höhe in Meter unter dem Meeresspiegel, die Länge in Dezimeter vor einem Absprung- balken, den Schuldenstand in Euro auf dem Konto etc. 1.116 Eine Zahlengerade ist eine Menge von un- endlich vielen Punkten, die Zahlen entspre- chen. Eine Zahlengerade ist ein nach links verlängerter Zahlenstrahl, dh. die Zahlen- gerade hat keinen Anfang und kein Ende, während der Zahlenstrahl bei 0 beginnt und kein Ende hat. 1.117 1) Z  = {… , ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 2) Z +  = {1, 2, 3, 4, 5, …} 3) Z –  = {… , ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1} 1.118 Für zwei ganze Zahlen a und b gilt a < b genau dann, wenn die Zahl a auf der Zahlen- geraden links von der Zahl b liegt. 1.119 Ja, jede ganze Zahl hat sowohl einen Vorgän- ger als auch einen Nachfolger. Nein, es gibt keine kleinste und keine größte ganze Zahl. 1.120 Beim Addieren und Subtrahieren positiver und negativer Zahlen ist es zweckmäßig, um jede Zahl Klammern zu setzen, da diese meist Rechenzeichen von Vorzeichen tren- nen sollen. 1.121 Mit Rechenzeichen werden Rechenoperatio- nen zwischen ganzen Zahlen angezeigt, Vor- zeichen geben an, ob es sich um positive oder negative ganze Zahlen handelt. ZB: (‒9) + (+5) = (‒4), (+8) – (‒5) = (+13) 1.122 Für positive Zahlen a und b gilt: Addition: (+a) + (+b) = a + b, (‒a) + (‒b) = ‒a – b, (+a) + (‒b) = a – b, (‒a) + (+b) = ‒a + b Subtraktion: (+a) – (+b) = a – b, (‒a) – (‒b) = ‒a + b, (+a) – (‒b) = a + b, (‒a) – (+b) = ‒a ‒b 1.123 Ist a eine ganze Zahl,so nennt man ‒a die Gegenzahl zu a. Es gilt: a + (‒a) = (‒a) + a = 0. 1.124 Für positive Zahlen a und b gilt: Multiplikation: (+a)·(+b) = a·b, (‒a)·(‒b) = a·b, (+a)·(‒b) = –(a·b), (‒a)·(+b) = –(a·b) Division: (+a)(+b) = ab, (‒a)(‒b) = ab, (+a)(‒b) = –(ab), (‒a)(+b) = –(ab) 1.125 Was in Klammern steht, muss zuerst berech- net werden. Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen ausgeführt. Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. Ja, die Vorrangregeln gelten auch für ganze Zahlen. 1.126 Die Distributivgesetze lauten: a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)c = ac + bc (mit c ≠ 0). Ja, die Distributivgesetze gelten auch für ganze Zahlen. 1.127 Die Temperatur ist in diesem Zeitraum um 13 °C angestiegen. 1.128 neuer Kontostand: ‒3000€ 3000 2000 1000 0 ‒1000 ‒2000 ‒3000 ‒4000 4000 ‒6500 1.129 a) ‒167 < ‒43 < ‒2 < ‒1 < 0 < 8 < 19 < 45 b) ‒372 < ‒23 < ‒22 < ‒6 < ‒5 < 4 < 22 < 370 1.130 a) 7 b) (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) + (‒4) = (‒24) c) (‒888)(‒37) = (+24) oder (‒888)(+24) = (‒37) 1.131 1) Tag Last- schrift in Euro Gut schrift in Euro Kon- tostand in Euro 2150,– 3. April 350,– 1800,– 9. April 120,– 1920,– 11. April 1560,– 360,– 18. April 870,– ‒510,– 25. April 280,– ‒230,– 26. April 30,– ‒260,– 2) Summe der Lastschriften: 2810€, Summe der Gutschriften: 400€ 2150€ – 2810€ + 400€ =  ‒260€ 1.132 1.133 (‒18) – (‒13) = ‒18 + 13 = ‒5 (‒13) – (‒18) = ‒13 + 18 = 5 Da ‒5 ≠ 5, gilt das Kommutativgesetz für die Subtraktion im Bereich der ganzen Zahlen nicht. 1.134 Die Zahl ‒8 liegt auf der Zahlengeraden weiter links als die Zahl ‒5. 1.135 Ist a > 0, gilt die Regel „Plus mal plus ist plus“, also a·a º 0, zB: (+4)·(+4) = 4·4 = 16 º 0. Ist a < 0, gilt die Regel „Minus mal minus ist plus“, also (‒a)·(‒a) = a·a º 0, zB: (‒3)·(‒3) = 3·3 = 9 º 0. Ist a = 0, ist 0·0 = 0 º 0. 2 Rationale Zahlen 2.101 Eine Zahl, die in Bruchdarstellung so ange- schrieben werden kann, dass Zähler und Nenner jeweils ganze Zahlen sind, nennt man rationale Zahl. 2.102 Die Zahl 0 kann man als Bruch darstellen, indem der Zähler 0 und der Nenner eine beliebige Zahl ≠ 0 ist, zB 0 =   0 _ 3 =   0 ___  ‒16 =   0 _ 1 = … 2.103 Man kann sowohl Zahlen in endlicher als auch in periodischer Dezimaldarstellung als Bruch anschreiben, bei dem Zähler und Nen- ner ganze Zahlen sind, wobei der Nenner ≠ 0 sein muss. 2.104 1) Q ist die Menge der rationalen Zahlen. 2) Q + ist die Menge der positiven rationalen Zahlen. 3) Q – ist die Menge der negativen rationalen Zahlen. 2.105 Die Vorperiode ist 52. 2.106 Für zwei Zahlen a und b gilt a < b genau dann, wenn die Zahl a auf der Zahlengeraden links von der Zahl b liegt. Es gibt keine kleinste und keine größte rationale Zahl. 2.107 Beim Addieren (Subtrahieren) rationaler Zah- len in Bruchdarstellung müssen deren Nen- ner gleich sein. Dann werden die Zähler ad- diert (subtrahiert), während der Nenner unverändert bleibt. 2.108 1) Beim Multiplizieren rationaler Zahlen in Bruchdarstellung werden der Zähler der einen Zahl mit dem Zähler der anderen Zahl sowie der Nenner der einen Zahl mit dem Nenner der anderen Zahl multipliziert und dies wird wieder in Bruchdarstellung ange- schrieben. 2) Beim Dividieren rationaler Zahlen in Bruchdarstellung bildet man den Kehrwert des Divisors und führt mit diesem eine Multi- plikation durch. Dabei ist zu beachten, dass auch in der Menge der rationalen Zahlen eine Division durch null nicht zielführend ist. 2.109 Der Absolutbetrag (oder Betrag) einer ratio- nalen Zahl a ist derselbe wie der ihrer Gegenzahl ‒a. Man schreibt |‒a| = |+a|. 2.110 Alle vier Grundrechenarten mit rationalen Zahlen lassen sich in der Menge Q ausfüh- ren. Einzige Ausnahme bleibt die Division durch 0. 2.111 1,5 1 0,5 0 ‒1,5 ‒1 ‒0,5 ‒2 ‒2,5 ‒0,3 ‒0,9 ‒2 1 5 1,4 2.112 8 ‒   20 __ 5    0 ___  127 2.113   13 __ 36 2.114   3 _ 4 2.115 21 + 5  1 _ 3 · “    3 _ 8 – 2 – 1  § = 7 2.116 Der Quotient zweier negativer rationaler Zahlen kann nur eine positive Zahl sein. Daher kann das Ergebnis nicht ‒5 sein. 2.117   161 ___ 990 2.118 Die Zahl  ‒   7 _ 4 = ‒1,75, liegt auf der Zahlen- geraden rechts von der Zahl ‒   5 _ 2 = ‒2,5. ‒1,5 ‒1 ‒2 ‒2,5 ‒3 ‒ 5 2 ‒ 7 4 2.119   149 ___ 20  = 7,45 2.120 ‒   3 _ 5 (‒3)·  1 _ 5 2.121 1) ‒12,6°C < ‒7,7°C < ‒5,8°C < ‒2,1°C 2) ‒3,4°C < ‒0,2°C < 2,5°C < 6,3°C 3) 7,5°C < 8,3°C < 8,4°C < 9,2°C Die Differenz ist in Radstadt am größten, in Hohenems am kleinsten. 2.122 Sie hat nicht Recht. Der Fehler ist in der vier- ten Zeile auf der rechten Seite der Gleichung zu finden: “  ‒   26 __ 5    § · “  ‒   3 _ 8   § = +   26·3 ___  5·8  und nicht ‒   26·3 ___ 5·8  , wie es hier steht. 3 Potenzen 3.99 Eine Potenz a n ist die vereinfachte Darstel- lung eines Produkts mit gleichen Faktoren. Der Exponent (die Hochzahl) n einer Potenz gibt an, wie oft die Basis a als Faktor mit sich selbst multipliziert wird. a·a·a·a·…·a = a n n Faktoren 3.100 1) Ist der Exponent eine gerade Zahl, so ist das Produkt stets positiv. 2) Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so ist das Produkt stets negativ. 3.101 Bei ‒a n wird die Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert und von diesem Produkt wird die Gegenzahl genommen. Bei (‒a) n wird die Zahl (‒a) n-mal mit sich selbst multipliziert. 276 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv