Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Im Werkunterricht näht Nina einen Nadelpolster, der die Form eines Tetraeders hat. Ein Tetrader ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide mit lauter gleich langen Kanten. Wie viel Stoff benötigt Nina für den Nadelpolster, wenn die Kanten des Tetraeders 10 cm lang sind und Nina für Nähte und Ver- schnitt 20% mehr Stoff benötigt? Lösung: Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken, deren Flächeninhalt man mit A =   a·h  a ___ 2  berechnet. Für den Oberflächeninhalt O erhält man: O = G + M =   a·h  a ___ 2  + 3·  a·h  a ___ 2  = 4·  a·h  a ___ 2  = 2·a·h  a . Mithilfe des pythagoräischen Lehrsatzes lässt sich die Höhe h  a =  9 ______ a 2  –  “    a _ 2   §   2 =  9 _____ a 2  –   a 2 __ 4  =  9 ___   3a 2 ___ 4  =   a 9 __ 3 ___ 2  berechnen. O = 2·a·h  a = 2·a·  a 9 __ 3 ___ 2  = a 2 9 __ 3= 10 2 9 __ 3= 173,205… (cm 2 ) Nina muss den Oberflächeninhalt nur mehr mit dem Faktor 1,2 multiplizieren, wenn sie den um 20% größeren Stoffbedarf ermitteln will. O·1,2 = 173,205…·1,2 = 207,846… ≈ 208 (cm 2 ) Nina braucht für den Nadelpolster, inklusive Nahtzugabe und Verschnitt ca. 208 cm 2 Stoff. Ein Zelt hat die Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 2,5m und der Seitenflächenhöhe h a  = 2,4m. 1) Wie viel Quadratmeter Zeltplane benötigt man für Boden und Zeltwände? 2) Kannst du in der Mitte des Zeltes aufrecht stehen? Berechne die Pyramidenhöhe, verwen- de dabei eine Schrägrissskizze und den pythagoräischen Lehrsatz! Aus einem 15 cm hohen quadratischen Prisma mit der Grundkantenlänge a = 10 cm wird eine möglichst große regelmäßige quadratische Pyramide herausgeschnitten. 1) Stelle die Aufgabe mittels einer Schrägrissskizze dar! 2) Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide! Verwende zur Berechnung der Seiten- flächenhöhe h a den pythagoräischen Lehrsatz! 3) Um wie viel Prozent ist der Oberflächeninhalt der Pyramide kleiner als der des Prismas? Ein Oktaeder ist eine regelmäßige quadratische Doppelpyramide, mit lauter gleich langen Kanten. 1) Zähle die Ecken und Kanten und gib an, wie viele und welche Flächen einen Oktaeder begrenzen! 2) Zeige, dass sich mit O = 2a 2 9 __ 3der Oberflächeninhalt eines Oktaeders berechnen lässt (vergleiche dazu Aufgabe 10.122) und berechne diesen für einen Oktaeder mit a = 10 cm! 3) Tetraeder und Oktaeder gehören zu den platonischen Körpern . Recherchiere dazu im Internet! 10.122 D O a a a a h a a a a a 2 2 10.123 O 10.124 D O a a a a a a a 10.125 D O A Ó 254 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv