Mathematik verstehen 3, Schulbuch

9.9 MERKwürdiges: Die Teilung des Ackers 227 I 3 Geometrische Figuren und Körper Ein dreieckiger Acker soll so geteilt werden, dass einerseits fünf Personen einen gleich großen Anteil davon erhalten und anderer- seits die Trennlinie eine Zick-Zack-Form aufweist. C A B I II III V IV Die erste Bedingung lässt sich leicht erfüllen. Der Flächeninhalt ei- nes Dreiecks ist das halbe Produkt aus Seitenlänge und zugehöriger Höhe. Im Dreieck ABC wäre er demnach ​ __ AB​·​  h 1 __  2 ​. Um fünf Personen den gleichen Flächenanteil zu sichern, muss lediglich die Seite AB bei gleicher Höhe in fünf gleich große Teile geteilt werden. Der Flächeninhalt eines Anteils wäre ​  1 _ 5 ​·​ __ AB​·​  h 1 __  2 ​. C 1 h 1 C 2 C 3 C 4 C 5 AB 1 5 Nur liegt eben keine Trennlinie in Zick-Zack-Form vor. Dafür gibt es jedoch eine Lösung. Der Inhalt der Fläche Ø, dh. des Dreiecks ADC, macht genau ​  1 _ 5 ​des Inhalts der Dreiecksfläche ABC aus. Übrig bleibt ein Dreieck DBC, das die weiteren ​  4 _ 5 ​der gesamten Dreiecksfläche beinhaltet. Bei diesem wird nun die Seite BC in vier gleich große Teile geteilt. Die vier entstandenen Dreiecke haben alle die gleiche Höhe h 2 . Der Inhalt der Dreiecksfläche DEC ist nun ​  1 _ 4 ​des Flächeninhalts des Dreiecks DBC und gleichzeitig ​  1 _ 5 ​des Inhalts der Dreiecksfläche ABC. Die Zick-Zack-Linie wird nun so weitergeführt, dass die Strecke DB in drei gleich große Teile geteilt wird. Mit dem Teilungspunkt F ent- steht das Dreieck FBE. Nun wird noch die Strecke BE in zwei gleich große Teile geteilt und mit FG der letzte Teil der Zick-Zack-Linie ein- getragen. Für die Flächeninhalte aller fünf Dreiecke gilt nun: A ADC  = A DEC  = A DFE  = A FGE  = A FBG C A D B h 1 I C A D E B h 2 I II C A D F G E B I II III V IV Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv