Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Der Flächeninhalt des spitzwinkeligen und des stumpfwinkeligen Dreiecks Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A eines 1) spitzwinkeligen Dreiecks, 2) stumpf- winkeligen Dreiecks auf! Gehe dabei von der Formel für den Flächeninhalt eines recht- winkeligen Dreiecks aus! Lösung: Für den Flächeninhalt A des rechtwinkeligen Drei- ecks mit den Kathetenlängen a und b gilt: A =   a·b ___  2  1) Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines spitzwinkeligen Dreiecks wird das Dreieck durch die Höhe h a in zwei rechtwinkelige Drei- ecke geteilt. Das Dreieck mit den Kathetenlän- gen a 1 und h a hat den Flächeninhalt A  1 =   a  1 ·h  a ____ 2  . Das Dreieck mit den Kathetenlängen a 2 und h a hat den Flächeninhalt A  2 =   a  2 ·h  a ____ 2  . Der gesuchte Flächeninhalt A ist somit: A =   a  1 ·h  a ____ 2  +   a  2 ·h  a ____ 2  =   (a  1 + a  2 )·h  a _______ 2  =   a·h  a ___ 2  2) Für die Berechnung des Flächeninhalts A eines stumpfwinkeligen Dreiecks wird das Dreieck durch die Höhe h a auf die verlängerte Seite a zu einem rechtwinkeligen Dreieck ergänzt. Das Dreieck mit den Kathetenlängen (a + a 3 ) und h a hat den Flächeninhalt A  3 =   (a + a  3 )·h  a _______ 2  . Der gesuchte Flächeninhalt A ist somit: A =   (a + a  3 )·h  a _______ 2  –   a  3 ·h  a ____ 2  =   (a + a  3 – a  3 )·h  a _________ 2  =   a·h  a ___ 2  Die Formel A =   a·h  a ___ 2  gilt für die Berechnung des Flächeninhalts sowohl von spitzwinkeligen als auch von stumpfwinkeligen Dreiecken. Es kann ebenso mit der Seite c und der zugehörigen Höhe h c bzw. mit der Seite b und der Höhe h b gezeigt werden, dass gilt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c sowie den zugehörigen Höhen h a , h b und h c gilt: A =   a·h  a ___ 2  =   b·h  b ___ 2  =   c·h  c ___ 2  Bemerkung: Diese Formeln gelten auch für rechtwinkelige Dreiecke: b = h a a c b a c b a = h b h c c A =   a·h  a ___ 2  =   a·b ___  2  A =   b·h  b ___ 2  =    b·a ___  2  A =   c·h  c ___ 2  9.22 O b a c b a a 1 h a a 2 c b a a 3 h a c D Ó Ó Demo – h4ad7e 200 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv