Mathematik verstehen 3, Schulbuch

8.5 MERKwürdiges: Der große Satz von Fermat 193 I 3 Geometrische Figuren und Körper Pythagoräische Zahlentripel Die Pythagoräer bauten nach dem Tod des PYTHAGORAS Schulen und lehrten dort die Methoden des logischen Beweisens. Hierbei war die Suche nach ganzzahligen Lösungen für den pythagoräischen Lehrsatz von großer Bedeutung. Dies lässt sich folgendermaßen veranschaulichen: Man versucht zwei Quadrate zu finden, die zusam- mengelegt ein drittes Quadrat ergeben. So kann ein Quadrat, das aus 9 Teilquadraten besteht, mit einem zusammengelegt werden, das aus 16 Teilquadraten besteht. Es entsteht ein Quadrat aus 25 Teilquadra- ten. Drei ganze Zahlen, die den pythagoräischen Lehrsatz erfüllen, nennt man pythagoräisches Zah- lentripel . Im Fall von 9 + 16 = 25 bzw. 3 2  + 4 2  = 5 2 ergeben die Zahlen a = 3, b = 4 und c = 5 ein pytha- goräisches Zahlentripel. Weitere dieser Zahlentripel sind folgende: 5, 12, 13 15, 8, 17 7, 24, 25 9, 40, 41 33, 56, 65 usw. Alle erfüllen die Gleichung a 2  + b 2  = c 2 . Die Pythagoräer haben sogar gezeigt, dass unendlich viele pythagoräische Zahlentripel existieren. + + = 3 2 4 2 5 2 + = 9 16 25 = Der Satz von Fermat-Wiles Pierre de FERMAT (1601 – 1665) wollte herausfinden, wie viele ganzzahlige Lösungen es für die Gleichung a 3  + b 3  = c 3 gibt und fand heraus, dass es dafür offenbar keine einzige ganzzahlige Lösung gibt. Eine geringfügige Änderung des pythagoräischen Lehrsatzes brachte es mit sich, dass aus einer Gleichung mit unendlich vielen ganz- zahligen Lösungen eine wurde, die gar keine ganzzahligen Lösungen hat. FERMAT versuchte es auch mit höheren Exponenten, also a 4  + b 4  = c 4 , a 5  + b 5  = c 5 , … , aber auch hier konnte er keine ganzzahlige Lösung finden. Dies gipfelte in seinem Lehrsatz: Die Gleichung ​a​  n ​+ ​b​  n ​= ​c​  n ​hat für n = 3, 4, 5, 6, … keine ganzzahligen Lösungen. FERMAT meinte, diesen Satz beweisen zu können, was die folgende Randnotiz in einem seiner Bücher vermuten lässt: „Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch dieser Rand hier ist zu schmal, um ihn zu fassen.“ Es darf bezweifelt werden, dass er einen exakten Beweis gefunden hat, denn in den folgenden Jahrhunderten haben Mathematiker immer wieder versucht, diesen Satz zu be- weisen – ohne Erfolg. Erst im Jahr 1995gelang dies nach jahrelangen Anstrengungen dem britischen Mathematiker Andrew WILES (*1953) auf über 100 Seiten. Der große Satz von Fer- mat wird neuerdings gern Satz von Fermat-Wiles genannt, um den Mann einzube- ziehen, der den großen Satz von FERMAT bewiesen hat. (Buchtipp: Singh, Simon: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. dtv 1998) Pierre de Fermat Andrew Wiles Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv