Mathematik verstehen 3, Schulbuch

Beweis nach Leonardo da Vinci Selbst der berühmte italienische Universalgelehrte LEONARDO da Vinci (1452–1519) lieferte einen geometri- schen Beweis für den Satz des Pythagoras: Über die beiden Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks ABC sowie über dessen Hypotenuse werden Quadrate gezeichnet. Das zum Dreieck ABC kongruente Dreieck KHL wird an das Hypotenusenquadrat angeschlossen. Die Punkte C und L, E und F sowie D und G werden verbunden. Der Flächeninhalt des Sechsecks AHLKBC setzt sich aus dem Flächeninhalt des Quadrats AHKB und dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABC zusammen. Damit ist der Flächeninhalt des Sechsecks doppelt so groß wie der des Vierecks AHLC, welches flächengleich mit dem Viereck ABFE ist. Damit sind auch die Sechsecke AHLKBC und ABFGDE flächengleich und somit auch flächen- inhaltsgleich. In beiden Sechsecken finden sich die Flächen zweier rechtwinkeliger zu ABC kongruenter Dreiecke. Also muss die Summe der Flächeninhalte der Quadrate BFGC und ACDE gleich dem Flächen- inhalt des Quadrats AHKB sein. Daraus folgt für ​ __ BC​= a, ​ __ AC​= b und ​ __ AB​= c der pythagoräische Lehrsatz: ​ a​  2 ​+ ​b​  2 ​= ​c​  2 ​ . Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes von Henry PERIGAL hat Henry DUDENEY 1917 wieder aufge- nommen: Die nummerierten Teilflächen der beiden Katheten- längenquadrate passen – anders geordnet – genau in das weiße Hypotenusenlängenquadrat. Schneidet die Figuren im Anhang des Buches aus und legt die einzelnen Teilflächen so in das Hypotenusenlängenqua- drat, dass dieses vollständig bedeckt ist und die Teilflächen einander nicht überdecken! Macht euch in Fachliteratur, in Lexika oder im Internet auf die Suche nach weiteren Beweisen des pythagoräischen Lehrsatzes! A B C F G D E L K H Ó 8.58  D A A B 1 2 3 4 5 C B 8.59  C Ó Zusammenfassung In einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusen- länge c gilt stets: a 2  + b 2  = c 2 (Satz des Pythagoras) . Gilt in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c eine Beziehung a 2  + b 2  = c 2 , so ist dieses Dreieck rechtwinkelig. a 2  = c 2  – b 2  oder a = ​ 9 _____ c 2  – b 2  ​ b 2  = c 2  – a 2  oder b = ​ 9 _____ c 2  – a 2  ​ c 2  = a 2  + b 2  oder c = ​ 9 _____ a 2  + b 2 ​ a b c A B C 191 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv