Mathematik verstehen 3, Schulbuch

8.3 Den pythagoräischen Lehrsatz beweisen Beweis nach Thabit ibn Qurra Der arabische Mathematiker THABIT ibn QURRA (826–901) hat den pythagoräischen Lehrsatz mit einer Flächenteilungsüberlegung bewiesen. Der Engländer Henry PERIGAL hat diesen Beweis im Jahr 1873 verfeinert: In zwei nebeneinanderliegende Quadrate mit den Seitenlängen a und b werden zwei kon- gruente rechtwinkelige Dreiecke mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c eingezeichnet (Abb. 8.1). Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus dem Flächeninhalt a·a = a 2 des linken Quadrats und dem Flächeninhalt b·b = b 2 des rechten Quadrats zusammen a  2 + b  2 . Verschiebt man nun die beiden rechtwinkeligen Dreiecke wie in Abbildung 8.2, so entsteht ein Quadrat mit der Seitenlänge c, dessen Flächeninhalt c·c =  c  2 ist (Abb. 8.3). Die grüne Flä- che, die in beiden Fällen nicht von den beiden Dreiecken überdeckt ist, bleibt dieselbe. Daher muss gelten a  2 + b  2 = c  2 . b b a c c a b b a c c c c a b c c c c a Abb. 8.1 Abb. 8.2 Abb. 8.3 Beweis nach Fibonacci Der pythagoräische Lehrsatz lässt sich auch mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen. LEONARDO von Pisa, genannt FIBONACCI, (ca. 1170 – ca. 1250) hat einen dieser Beweise in seiner Schrift „ Practica Geometria “ angeführt. In ein rechtwinkeliges Dreieck ABC wird die Höhe auf die Hypotenuse c eingezeichnet und der Schnittpunkt der Höhe mit c wird H genannt. Die Dreiecke CAH und ABC sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. Daher gilt: ___ AH __ AC=  __ AC __ AB ___ AH· __ AB=  __ AC  2 Die Dreiecke BCH und ABC sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. Daher gilt: ___ HB __ BC= __ BC __ AB ___ HB· __ AB=  __ BC  2 Aus diesen beiden Überlegungen folgt nun: __ BC  2 +  __ AC  2 =  ___ HB· __ AB+  ___ AH· __ AB= ( ___ HB+  ___ AH)· __ AB=  __ AB· __ AB=  __ AB  2 Da __ BC= a, __ AC= b und __ AB= c, wird aus __ BC  2 +  __ AC  2 =  __ AB  2 der pythagoräische Lehrsatz a  2 + b  2 = c  2 . Ó a b c A H B C Ó Demo – x2d8ph 190 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv