Mathematik verstehen 3, Schulbuch

7.5 Strahlensätze Die beiden Dreiecke in Abbildung 7.1 sind einander ähnlich. Sind aber auch die beiden Drei- ecke in Abbildung 7.2 einander ähnlich? Versucht die Antwort zu begründen! A B C A’ B’ C’ α α ’ Abb 7.1 A B C A’ B’ C’ α α ’ Abb 7.2 Ist bei einer zentrischen Streckung der Streckungsfaktor k < 0, dann liegen Original- und Bild- punkte auf verschiedenen Seiten vom Streckungszentrum Z. Wie groß ist in Abb. 7.2 der Streckungsfaktor k und wo liegt das Streckungszentrum Z? Gebt so viele ähnliche Dreiecke an, wie ihr in Abbildung 7.3 finden könnt! Versucht auch zu erklären, warum diese einander ähnlich sind! a b c A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 g 1 g 2 S Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke erweisen sich für das Verständnis der drei Strahlensätze , die in Abbildung 7.3 veranschaulicht sind, als sehr hilfreich. Erster Strahlensatz Werden die Strahlen a, b und c, die vom gemeinsamen Punkt S ausgehen, von zwei paralle- len Geraden g 1 und g 2 geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl zuein- ander so wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl: ___ SA  1  ___ SA  2 =  ___ SB  1  ___ SB  2 =  ___ SC  1  ___ SC  2 und ___ SA  1  ____ A  1 A  2 =  ___ SB  1  ____ B  1 B  2 =  ___ SC  1  ___ C  1 C  2 oder anders angeschrieben:   ___ SA  1 ___ _ SA  2 =   ___ SB  1 ___  _ SB  2   =   ___ SC  1 ___ SC  2 und   ___ SA  1 ___  A  1 A  2 =   ___ SB  1 ___  _ B  1 B  2 =   ___ SC  1 ___  C  1 C  2 Bemerkung: Für den ersten Strahlensatz gilt auch die Umkehrung: Wenn die Geraden g 1 und g 2 von den Strahlen a, b und c verhältnisgleiche und gleichliegende Strecken ab- schneiden, dann sind g 1 und g 2 parallel. Ein Beweis für den ersten Strahlensatz ergibt sich unmittelbar aus der Ähnlichkeit folgender Dreiecke (siehe Abbildung 7.3): SA 1 B 1 ist ähnlich zu SA 2 B 2 , SA 1 C 1 ist ähnlich zu SA 2 C 2 , SB 1 C 1 ist ähnlich zu SB 2 C 2 . C 7.69 I A 7.70 I A B Abb. 7.3 171 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv