Mathematik verstehen 3, Schulbuch

4.9 MERKwürdiges: Der binomische Lehrsatz 119 Binomische Formeln höherer Ordnung Die binomischen Formeln (A + B) 2  = A 2  + 2AB + B 2 und (A – B) 2  = A 2  – 2AB + B 2 gelten für beliebige Terme A und B. Man nennt sie binomische Formeln 2. Ordnung , da der Exponent bei (A + B) und (A – B) jeweils 2 ist. Aus diesen lassen sich die binomischen Formeln 3. Ordnung herleiten: (A + B) 3  = (A + B) 2 ·(A + B) = (A 2  + 2AB + B 2 )·(A + B) = A 3  + 3A 2 B + 3AB 2  + B 3 (A – B) 3  = (A – B) 2 ·(A – B) = (A 2  – 2AB + B 2 )·(A – B) = A 3  – 3A 2 B + 3AB 2  – B 3 Rechne nach! Möchte man nun binomische Formeln 4., 5., … Ordnung aufstellen, zB für (A + B) 4 , (A – B) 5 etc., muss man viele Termmultiplikationen durchführen. Das Pascal’sche Dreieck Interessanterweise gibt es ein Schema, nach dem sich die weiteren binomischen Formeln bilden lassen. Ein optimales Hilfsmittel dazu ist das sogenannte Pascal’sche Dreieck (benannt nach dem französischen Mathematiker Blaise PASCAL, 1623–1662). Dieses zeigt an den Rändern links und rechts stets die Zahl 1 und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen. Ein Zusammenhang zu den (A + B) =  Koeffizienten bei den (A + B) 2  =  binomischen Formeln (A + B) 3  =  ist leicht hergestellt: (A + B) 4  =  (A + B) 5  =  … Während die Exponenten bei A von links nach rechts stets um 1 kleiner werden, passiert bei den Exponenten bei B das Gegenteil. Dieses Schema lässt sich immer so weiterführen. Rechne für die Exponenten 4 und 5 nach! Ermittle nach diesem Schema eine Formel für (A + B) 6 und (A + B) 7 ! Für (A – B) 4 , (A – B) 5 , (A – B) 6 , ... gilt ebenso das Schema des Pascal’schen Dreiecks. Die Rechen- zeichen wechseln einander jedoch innerhalb einer Summe ab. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1  4 6 4   1 1 5 10 10 5 1 1 A +  1 B 1 A 2  +  2 AB +  1 B 2 1 A 3  + 3 A 2 B + 3 AB 2  +  1 B 3 1 A 4  +  4 A 3 B + 6 A 2 B 2  +  4 AB 3  +  1 B 4 1 A 5  + 5 A 4 B +  10 A 3 B 2  +  10 A 2 B 3  + 5 AB 4  +  1 B 5 … … … … Der binomische Lehrsatz Der binomische Lehrsatz (oder Binomiallehrsatz ) gibt nun eine Formel für (A + B) n an: (A + B)  n = K  0 ·A  n + K  1 ·A  n‒1 ·B + K  2 ·A  n‒2 ·B  2 + ... + K  n‒2 ·A  2 ·B  n‒2 + K  n‒1 ·A·B  n‒1 + K  n ·B  n Dabei sind K 0 , K 1 , K 2 , … , K n die sogenannten Binomialkoeffizienten , die den Zahlen des Pascal’schen Dreiecks für die n-te Zeile entsprechen. Eine Formel zur Berechnung der Binomialkoeffizienten findet sich in Mathematik verstehen 7. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv