Mathematik verstehen 2, Schulbuch

1.4 Das kleinste gemeinsame Vielfache An einer Bushaltestelle verkehren die Linien G und K. Linie G hält dort alle 12 Minuten, Linie K alle 8 Minuten. Um 10 Uhr stehen Busse beider Linien an der Haltestelle. Nach wie vielen Minuten stehen dort wieder beide Busse zugleich? Lösung: Um die Zahl der Minuten herauszufinden, ist ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 12 und 8 notwendig. V 12 = {12, 24 , 36, 48 , 60, 72 , 84…}, V 8 = {8, 16, 24 , 32, 40, 48 , 56, 64, 72 , …} Die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 12 und 8 sind: 24 , 48 , 72 , …. Die Zahl 24 ist also das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12 und 8. Busse beider Linien stehen nach 24 Minuten wieder an der Haltestelle. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier natürlicher Zahlen z 1 und z 2 ist die kleinste Zahl, welche die Vielfachenmengen beider Zahlen z 1 und z 2 gemeinsam haben. Das Ergebnis aus Aufgabe 1.75 kann man kurz so anschreiben: kgV (12; 8) = 24 Das kgV kleiner Zahlen lässt sich recht einfach ermitteln. Für größere Zahlen z 1 und z 2 gilt: Das kgV zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen dividiert durch deren ggT : kgV (z 1 ; z 2 ) = (z 1 ·z 2 )ggT (z 1 ; z 2 ). Sonderfall: Ist ggT (z 1 ; z 2 ) = 1, so gilt kgV (z 1 ; z 2 ) = z 1 ·z 2 . Ermittle das kgV der Zahlen 48 und 36 mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers! Lösung: 48·36 = 1 728 ggT (48; 36) = 12 kgV (48; 36) = 1 72812 = 144 Aufgaben Grundlagen Ermittle das kgV als kleinste gemeinsame Zahl aus zwei Vielfachenmengen! a) kgV (8; 6) b) kgV (18; 4) c) kgV (14; 12) d) kgV (30; 25) Ermittle das kgV mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers! a) kgV (26; 18) b) kgV (34; 26) c) kgV (33; 12) d) kgV (130; 104) Timo und Jacqui machen eine Wanderung. Timos Schrittlänge beträgt 70 cm, Jacquis Schritt- länge ist 65 cm. Nach wie vielen Zentimetern herrscht erstmals wieder Gleichschritt? Zwei Zahnräder haben 24 bzw. 36 Zähne. Nach wie vielen Umdrehungen greifen dieselben Zähne erstmals wieder ineinander? Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Ermittle das kgV (27; 9), das kgV (48; 12) und das kgV (50; 25)! 1) Was fällt dir jeweils am kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen auf? 2) Welche allgemeine Erkenntnis lässt sich daraus ableiten? 1.75 O I 1.76 O 1.77 OD 1.78 O 1.79 O O 1.80 I 1.81 O A 31 Nur zu Prüfzwecken ) – Eigentum des Verlags öbv