Mathematik verstehen 2, Schulbuch

1.3 Der größte gemeinsame Teiler Vor einer Schule soll ein Fahrradabstellplatz mit 96dm Länge und 36dm Breite mit möglichst großen quadratischen Beton- platten ausgelegt werden. Welches Maß soll für die Seiten- länge einer Betonplatte verwendet werden? Lösung: Für das Maß der Seitenlänge einer Betonplatte ist ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 96 und 36 notwendig. T 96 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8, 12 , 16, 24, 32, 48, 96} T 36 = { 1, 2 , 3 , 4 , 6 , 9, 12 , 18, 36} Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 96 und 36 sind: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 und 12 . Die Zahl 12 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 96 und 36. Es ist somit möglich, Betonplatten mit den Seitenlängen 1 dm, 2dm, 3dm, 4dm, 6dm und 12dm zum Auslegen zu verwenden. Da die Betonplatten möglichst groß sein sollen, wird man jene mit der Seitenlänge 12dm wählen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen z 1 und z 2 ist die größte Zahl, welche die Teilermengen beider Zahlen z 1 und z 2 gemeinsam haben. Das Ergebnis aus Aufgabe 1.64 kann man kurz so anschreiben: ggT (96; 36) = 12 Man kann sich dies grafisch folgendermaßen vorstellen: 36 passt in 96 zweimal hinein, es bleibt der Rest 24 . 24 passt in 36 einmal hinein, es bleibt der Rest 12 . 12 passt in 24 zweimal hinein, es bleibt kein Rest mehr. Rechnerisch bedeutet dies: 9636 = 2, Rest 24 36 24 = 1, Rest 12 24  12 = 2, Rest 0 Bei dem Divisor 12 bleibt kein Rest mehr. Daher ist 12 der ggT der Zahlen 96 und 36 . Dieses Verfahren nennt man den euklidischen Algorithmus nach dem griechischen Mathe- matiker EUKLID (ca. 300 v.Chr.). Dabei wird die größere der beiden Zahlen durch die kleinere dividiert, dann dividiert man die kleinere durch den Rest der Division usw., bis eine Division den Rest 0 hat. Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der größte gemeinsame Teiler. Ist ggT (z 1 ; z 2 ) = 1, so nennt man die beiden Zahlen z 1 und z 2 teilerfremd . Ermittle den größten gemeinsamen Teiler von 2695 und 1 470 rechnerisch! Lösung: 26951 470 = 1, Rest 1 225 1 4701 225 = 1, Rest 245 1 225 245 = 5, Rest 0 Daher gilt: ggT (2695; 1 470) = 245 1.64 O I 96dm 12dm 36dm 12dm 96 36 36 24 24 12 12 12 36 24 96 36 12 12 12 12 12 12 12 12 Ó 1.65 O Ó Demo – aa38up 29 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv